[论文解读] Einstein-Cartan Theory

Andrzej Trautman|ArXiv.org|Jun 14, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用 44

一句话总结

爱因斯坦-嘉当理论（ECT）通过引入由物质固有自旋产生的时空扭张量，将广义相对论扩展为包含时空扭张的几何描述，从而实现对自旋-联络相互作用的几何化。该理论通过在高密度下引入一种排斥性的自旋-扭张项，避免了宇宙学模型中的奇点，为量子引力的潜在经典极限提供了可能。

ABSTRACT

The Einstein--Cartan Theory (ECT) of gravity is a modification of General Relativity Theory (GRT), allowing space-time to have torsion, in addition to curvature, and relating torsion to the density of intrinsic angular momentum. This modification was put forward in 1922 by Elie Cartan, before the discovery of spin. Cartan was influenced by the work of the Cosserat brothers (1909), who considered besides an (asymmetric) force stress tensor also a moments stress tensor in a suitably generalized continuous medium.

研究动机与目标

• 将广义相对论重新表述为一种几何理论，将时空扭张作为由固有角动量（自旋）源激发的几何属性。
• 通过引入扭张，使时空的对称群恢复为完整的庞加莱群，从而将几何结构推广至黎曼几何之外。
• 通过引入由自旋产生的排斥势能，解决宇宙学中时空奇点的问题，防止初始奇点的形成。
• 提供一个经典框架，其低能极限可能比标准广义相对论更好地逼近未来的量子引力理论。
• 建立引力中自旋与扭张的几何基础，与守恒定律和变分原理一致，尽管早期存在关于能量-动量张量发散的误解。

提出的方法

• 采用度量-仿射几何框架，其中联络为线性且与度量相容，但不必对称，从而允许扭张作为动力场。
• 使用外微分形式和标架场的嘉当形式理论，描述度量 $ g $、联络 $ ilde{ abla} $、曲率 $ R $ 和扭张 $ T $，其中扭张定义为 $ T^{ u} = de^{ u} + ilde{ abla}e^{ u} $。
• 通过在爱因斯坦-嘉当作用量上应用变分原理，推导场方程，建立曲率与扭张对能量-动量张量和自旋流张量的关联。
• 将自旋张量 $ S^{ ueta au} $ 作为扭张的源，场方程为 $ T^{ u} = \frac{1}{2} S^{ ueta au} \theta_{\beta} \theta_{\tau} $，从而将扭张与固有角动量联系起来。
• 通过假设空间均匀与各向同性（罗伯逊-沃尔克度量），将该理论应用于宇宙学模型，其中扭张由自旋尘埃流体激发。
• 求解修正的弗里德曼方程 $ \frac{1}{2}\dot{\mathcal{R}}^2 - M\mathcal{R}^{-1} + \frac{3}{2}S^2\mathcal{R}^{-4} = 0 $，其中 $ \mathcal{R}^{-4} $ 项源于自旋，防止 $ \mathcal{R} \to 0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在相对论性引力理论中一致地将时空扭张作为几何属性引入，并由固有自旋源激发？
• RQ2 扭张的引入如何修改爱因斯坦场方程及时空曲率的结构？
• RQ3 爱因斯坦-嘉当理论是否能通过自旋诱导的排斥势能解决宇宙学模型中的初始奇点问题？
• RQ4 在具有扭张的时空中，庞加莱群的作用是什么，与标准广义相对论中的作用有何不同？
• RQ5 爱因斯坦-嘉当理论是否是未来量子引力理论的可行经典极限，特别是在与标准广义相对论的比较中？

主要发现

• 爱因斯坦-嘉当理论在修正的弗里德曼方程 $ \frac{1}{2}\dot{\mathcal{R}}^2 - M\mathcal{R}^{-1} + \frac{3}{2}S^2\mathcal{R}^{-4} = 0 $ 中引入了排斥性的自旋-扭张项，防止标度因子 $ \mathcal{R} $ 趋近于零，从而避免了初始奇点。
• 对于自旋方向一致的自旋尘埃模型，初始半径估计为 $ \mathcal{R}(0) \approx 1 $ cm，密度量级为 $ m^2/\ell^4 $，远低于普朗克密度 $ 1/\ell^2 $，表明该情形具有物理合理性。
• 对于布里艾希类型 I、VII₀ 和 V 的解，当自旋效应主导于剪切时，存在非奇点的宇宙学解，证明了扭张驱动的非奇点演化是可行的。
• 该理论通过允许扭张表示平移的面密度，而曲率表示洛伦兹变换，从而恢复了完整的庞加莱群作为时空的对称群。
• 扭张并不要求能量-动量张量的散度为零；相反，守恒定律由存在扭张时的比安基恒等式导出，纠正了嘉当早期的误解。
• 该理论与超引力一致，因为简单超引力等价于以无质量拉瑞塔-施温格场为自旋源的 ECT，且耦合的爱因斯坦-嘉当-狄拉克方程的柯西问题具有良好的适定性。