[论文解读] Einstein Metrics Adapted to Contact Structures on 3-Manifolds

Brendan Guilfoyle|ArXiv.org|Dec 5, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 5

一句话总结

本文将 Newman-Penrose-Perjes 自旋系数形式化方法应用于具有接触结构的三维黎曼流形，表明当且仅当接触结构支持一条测地、无散度且恒定缠绕的曲面族时，该接触结构才容许一个适配的爱因斯坦度量。关键结果为：双曲三维流形不具有适配的接触结构，而具有适配接触结构的平坦与椭圆空间形式在局部上微分同胚于 R³ 和 S³ 上的标准结构。

ABSTRACT

The Newman-Penrose-Perjes formalism is applied to smooth contact structures on riemannian 3-manifolds. In particular it is shown that a contact 3-manifold admits an adapted riemannian metric if and only if it admits a metric with a divergence-free, constantly twisting, geodesic congruence. The shear of this congruence is identified with the torsion of the associated pseudohermitian structure, while the Tanaka-Webster curvature is identified with certain derivatives of the spin coefficients. The particular case where the associated riemannian metric is Einstein is studied in detail. It is found that the torsion is constant and the field equations are completely solved locally. Hyperbolic space forms are shown not to have adapted contact structures, even locally, while contact structures adapted to a flat or elliptic space form are contact isometric to the standard one.

研究动机与目标

• 研究哪些三维流形容许适配于爱因斯坦度量的接触结构。
• 刻画在适配度量下的接触三维流形中，Reeb 向量场及其相关曲面族的几何性质。
• 在爱因斯坦条件约束下，对空间形式（H³, R³, S³）适配接触结构进行局部分类。
• 建立三维黎曼设定下 Tanaka-Webster 曲率与挠率和自旋系数之间的对应关系。
• 通过自旋系数技术，确定三维中爱因斯坦适配接触结构的局部模空间。

提出的方法

• 将 Newman-Penrose-Perjes 自旋系数形式化方法适配于三维黎曼几何，以复类光标架和自旋系数作为主要变量。
• 将 Reeb 向量场识别为在适配度量下正交于接触平面的首选曲线族。
• 将曲面族的剪切表示为伪赫米特挠率，将 Tanaka-Webster 曲率表示为自旋系数的导数。
• 利用常曲率条件（即爱因斯坦条件）在局部坐标下导出度量与接触形式的偏微分方程组。
• 在平坦与椭圆情形下显式求解所得偏微分方程组，证明其在局部上微分同胚于 R³ 与 S³ 上的标准结构。
• 通过坐标变换与射线重参数化，将度量与接触形式约化为标准球面或欧氏形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些三维流形容许适配于爱因斯坦度量的接触结构？
• RQ2 在具有适配度量的接触三维流形中，Reeb 向量场曲面族的几何性质如何表征？
• RQ3 能否对适配爱因斯坦度量的接触三维流形的局部结构进行完全分类？
• RQ4 在三维黎曼设定下，Tanaka-Webster 曲率与挠率如何与自旋系数关联？
• RQ5 双曲三维流形是否容许任何适配于其标准度量的接触结构？

主要发现

• 在爱因斯坦条件下，双曲三维流形即使在局部范围内也不容许任何适配的接触结构。
• 在 R³ 上，任何光滑接触结构若适配于平坦度量，则在局部上微分同胚于 R³ 上标准接触结构与平坦度量。
• 在 R³ 上，任何光滑接触结构若适配于椭圆度量，则在局部上微分同胚于 S³ 上标准接触结构与球面度量。
• 对于适配于爱因斯坦三维流形的接触结构，其挠率为常数，且曲率与挠率通过一组完全决定局部几何的偏微分方程相关联。
• 椭圆情形下场方程的解给出的度量与接触形式在局部上等价于 S³ 上的标准球面度量与接触形式。
• 在平坦情形下，度量与接触形式约化为 R³ 上的标准平坦结构，证实了适配接触结构的局部刚性。