[论文解读] Einstein Metrics on Complex Surfaces

Claude LeBrun|ArXiv.org|Jun 29, 1995

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 48

一句话总结

本文研究了紧致复曲面上的爱因斯坦度量，证明在该曲面上，任何非凯勒的爱因斯坦赫尔米特度量必须来自对 $\mathbb{CP}^2$ 上一个至三个点的 blows up，且其等距群包含一个2-环面。唯一满足条件的度量是佩奇度量（单点 blows up），而对于三重点 blows up，仅存在凯勒-爱因斯坦度量，这表明在此情况下爱因斯坦赫尔米特度量具有唯一性。

ABSTRACT

We consider compact complex surfaces with Hermitian metrics which are Einstein but not Kaehler. It is shown that the manifold must be CP2 blown up at 1,2, or 3 points, and the isometry group of the metric must contain a 2-torus. Thus the Page metric on CP2#(-CP2) is almost the only metric of this type.

研究动机与目标

• 确定紧致复曲面是否可接受一个相对于其复结构非凯勒的爱因斯坦赫尔米特度量。
• 对所有接受非凯勒爱因斯坦赫尔米特度量的紧致复曲面进行分类。
• 研究在 $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上，此类度量是否必然为凯勒-爱因斯坦度量。
• 开发一种计算方法，用于测试 $\mathbb{CP}^2$ 的 blows up 上爱因斯坦赫尔米特度量的存在性与性质。

提出的方法

• 利用戈德堡-萨克斯定理，证明对于具有可积复结构 $J$ 的爱因斯坦4-流形，自对偶的外尔曲率 $W_+$ 是 $J$-不变的。
• 应用德兹金斯基的结果：若 $W_+$ 的特征值至多有两个不同值，则该度量是局部共形凯勒的。
• 结合戈德堡-萨克斯与德兹金斯基的结果，证明任意复曲面上的爱因斯坦赫尔米特度量均为共形凯勒的。
• 分析该度量的共形类，并以 $\mathbb{CP}^2$ 的 blows up 上的凯勒类表示函数 $\mathcal{A}|_P = \frac{1}{4\pi^2}\int \frac{s^2}{24} d\mu$ 的公式。
• 显式计算 $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$、$\mathbb{CP}^2\#2\overline{\mathbb{CP}}^2$ 与 $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上的该函数，识别出对应于极值凯勒度量的临界点。
• 通过对称性假设与数值分析，检验临界点是否对应于爱因斯坦度量，特别关注 $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧致复曲面是否可接受一个相对于其复结构非凯勒的爱因斯坦赫尔米特度量？
• RQ2 接受非凯勒爱因斯坦赫尔米特度量的紧致复曲面的完整分类是什么？
• RQ3 在复曲面上，唯一的非凯勒爱因斯坦赫尔米特度量是否就是 $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上的佩奇度量？
• RQ4 在 $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上，所有爱因斯坦赫尔米特度量是否必然源于凯勒-爱因斯坦度量？
• RQ5 函数 $\mathcal{A}|_P$ 是否可用于判断 $\mathbb{CP}^2$ 的 blows up 上某一给定凯勒类是否支持爱因斯坦赫尔米特度量？

主要发现

• 唯一接受非凯勒爱因斯坦赫尔米特度量的紧致复曲面是 $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$，且该度量在等距与缩放下唯一，即为佩奇度量。
• 在 $\mathbb{CP}^2\#2\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上，函数 $\mathcal{A}|_P$ 在 $y \approx 0.9577$ 处有唯一临界点，表明可能存在极值凯勒度量，但尚未确认存在爱因斯坦度量。
• 在 $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上，函数 $\mathcal{A}|_P$ 除在 $\alpha = \beta$、$\delta = 0$ 处（对应反 canonical 类）外无其他临界点，表明在对称性假设下仅存在凯勒-爱因斯坦度量。
• 在 $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上，$\mathcal{A}|_P$ 的临界值出现在 $x \approx 2.1839$，与佩奇度量中射影直线与例外除子面积比一致。
• 在 $\mathbb{CP}^2\#2\overline{\mathbb{CP}}^2$ 的临界凯勒类上，无迹里奇曲率范数满足 $\frac{1}{8\pi^2}\int |\mathrm{r}_0|^2 d\mu \approx 0.1365$，若此类度量存在，表明其与爱因斯坦度量仅有微小偏差。
• 所开发的计算方法可用于检验 $\mathbb{CP}^2\#2\overline{\mathbb{CP}}^2$ 与 $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上爱因斯坦赫尔米特度量的存在性，且有强烈证据表明后者中凯勒-爱因斯坦度量具有唯一性。