[论文解读] Einstein relation and linear response in one-dimensional Mott variable-range hopping

Alessandra Faggionato, Nina Gantert+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 34被引用 3

一句话总结

该论文在存在偏置的一维莫特可变范围跳跃模型中建立了线性响应与爱因斯坦关系，证明了从粒子参考系观察的环境稳态分布在其零偏置处具有可微性。通过在偏置稳态相对于平衡测度的Radon-Nikodym导数上建立 $L^p$-范数（$p>2$）的有界性，作者在不依赖微扰理论或再生时间的前提下，推导出线性响应与爱因斯坦关系，为无序输运系统提供了一套新颖的分析框架。

ABSTRACT

We consider one-dimensional Mott variable-range hopping with a bias, and prove the linear response as well as the Einstein relation, under an assumption on the exponential moments of the distances between neighboring points. In a previous paper \cite{FGS} we gave conditions on ballisticity, and proved that in the ballistic case the environment viewed from the particle approaches, for almost any initial environment, a given steady state which is absolutely continuous with respect to the original law of the environment. Here, we show that this bias--dependent steady state has a derivative at zero in terms of the bias (linear response), and use this result to get the Einstein relation. Our approach is new: instead of using e.g. perturbation theory or regeneration times, we show that the Radon-Nikodym derivative of the bias--dependent steady state with respect to the equilibrium state in the unbiased case satisfies an $L^p$-bound, $p>2$, uniformly for small bias. This $L^p$-bound yields, by a general argument not involving our specific model, the statement about the linear response.

研究动机与目标

• 在偏置条件下建立一维莫特可变范围跳跃中的线性响应与爱因斯坦关系。
• 分析从粒子视角观察的环境偏置依赖稳态，证明其在零偏置处的可微性。
• 基于偏置稳态相对于平衡测度的Radon-Nikodym导数的$L^p$-范数（$p>2$）建立新的分析方法。
• 避免使用传统工具如微扰理论或再生时间，为无序系统提供通用且稳健的分析框架。

提出的方法

• 推导在无偏情况下，偏置依赖稳态相对于平衡状态的Radon-Nikodym导数的$L^p$-范数（$p>2$）。
• 利用该$L^p$-范数，通过与具体模型无关的一般性论证推导线性响应。
• 采用涉及环境测度与粒子位置的耦合论证，利用杂质间距离的矩条件。
• 应用Hölder不等式与指数矩假设，控制环境跳跃率的尾部行为。
• 通过$L^2$-空间中的弱收敛与Kakutani定理，证明稳态密度收敛至平衡测度。
• 验证环境所需的矩条件（如 ${\mathbb{E}}[e^{pZ_0}] < \infty$），以确保$L^p$-范数在小偏置下一致成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维莫特可变范围跳跃中，从粒子视角观察的环境稳态分布是否在零偏置处具有可微性？
• RQ2 能否在不使用微扰理论或再生时间的前提下，严格推导系统对小偏置的线性响应？
• RQ3 在给定矩假设下，该无序长程跳跃模型中的爱因斯坦关系是否成立？
• RQ4 Radon-Nikodym导数的$L^p$-范数在建立线性响应中起到何种作用？
• RQ5 杂质间距离的指数矩条件如何影响线性响应与爱因斯坦关系的有效性？

主要发现

• 从粒子视角观察的环境偏置依赖稳态在零偏置处具有可微性，证实了线性响应特性。
• 偏置稳态相对于平衡测度的Radon-Nikodym导数满足对所有小偏置一致成立的 $L^p$-范数（$p>2$）。
• 该$L^p$-范数通过与具体动力学无关的一般性论证，蕴含了线性响应。
• 在假设 $\mathbb{E}[e^{(\lambda_0+4\delta)Z_{-1}+3\delta Z_0}] < \infty$ 与 $\mathbb{E}[e^{pZ_0}] < \infty$ 下，爱因斯坦关系在一维莫特可变范围跳跃模型中成立。
• 该方法避免了传统工具如再生时间或微扰理论，为无序系统中的线性响应提供了新途径。
• 在给定矩条件下，结果具有鲁棒性，确保了在粒子运动下环境测度的收敛性。