[论文解读] Einstein Relation for Nonequilibrium Steady States

T. Hanney, M. R. Evans|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2002

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 4

一句话总结

本文将适用于平衡态的爱因斯坦关系——关联扩散与迁移率——推广至随机格点模型的非平衡稳态。通过引入粒子产生/湮灭扰动，推导出阿锡梅特排斥过程（ASEP）和驱动二聚体模型等系统的广义爱因斯坦关系，表明即使在详细平衡被破坏的情况下，扩散常数仍与电流对这类扰动的线性响应保持比例关系。

ABSTRACT

The Einstein relation, relating the steady state fluctuation properties to the linear response to a perturbation, is considered for steady states of stochastic models with a finite state space. We show how an Einstein relation always holds if the steady state satisfies detailed balance. More generally, we consider nonequilibrium steady states where detailed balance does not hold and show how a generalisation of the Einstein relation may be derived in certain cases. In particular, for the asymmetric simple exclusion process and a driven diffusive dimer model, the external perturbation creates and annihilates particles thus breaking the particle conservation of the unperturbed model.

研究动机与目标

• 将适用于平衡态的爱因斯坦关系——在详细平衡成立时有效——推广至不满足详细平衡的非平衡稳态。
• 研究是否存在类似于爱因斯坦关系的涨落-响应关系，适用于受驱的随机格点模型。
• 确定在何种条件下可为缺乏详细平衡的系统推导出广义爱因斯坦关系。
• 分析特定模型（如ASEP和受驱二聚体扩散）中粒子数在扰动下不守恒的情形。
• 在非平衡条件下，建立扩散常数与电流对外部扰动响应之间的正式联系。

提出的方法

• 使用主方程框架描述有限状态空间上的随机动力学。
• 定义一个随机变量 $Y_t$，代表类似累积电流的可观测量，其均值和方差随时间线性增长。
• 采用Derrida的方法，为具有离散构型的系统推导出电流 $J$ 和扩散常数 $\Delta$ 的表达式。
• 引入可产生和湮灭粒子的扰动，使未扰动动力学中粒子数不守恒。
• 应用响应函数 $r(\mathcal{C})$ 将稳态概率的变化与扰动关联，满足一种平衡条件。
• 建立广义爱因斯坦关系 $\Delta = \text{响应项} \times \text{电流}$，其中 $\Omega$ 为由配分函数导出的比例常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 爱因斯坦关系能否推广至不满足详细平衡的非平衡稳态？
• RQ2 何种类型的扰动可使非平衡系统中保持涨落-响应关系？
• RQ3 在粒子数不守恒的模型（如ASEP）中，标准爱因斯坦关系 $\mu = \beta \Delta$ 是否仍然成立？
• RQ4 在边界驱动系统中，关系 $\Delta = (2\alpha - 1)J + 2\alpha(1 - \alpha)\partial J / \partial \alpha$ 在何种条件下成立？
• RQ5 对于所有粒子子空间中构型等概率的模型，即使不满足详细平衡，是否仍可推导出爱因斯坦关系？

主要发现

• 对于满足详细平衡的所有稳态，使用耦合至跳跃动力学的扰动，爱因斯坦关系成立。
• 在非对称排除过程（ASEP）中，通过引入产生和湮灭粒子的扰动，推导出广义爱因斯坦关系，其中 $\Omega = \Lambda_N Z_{N,M}^{-2}$。
• 在受驱二聚体扩散模型中，采用相同的扰动方案，广义爱因斯坦关系同样成立，其中 $\Omega = \Lambda_N Z_{N-1,M-1}^{-1} Z_{N,M}^{-1}$。
• 在边界驱动ASEP沿 $\alpha + \beta = 1$ 的直线上，建立了关系 $\Delta = (2\alpha - 1)J + 2\alpha(1 - \alpha)\partial J / \partial \alpha$，将扩散与电流响应联系起来。
• 推导依赖于一个假设：在稳态下，每个粒子子空间内的所有构型等概率，这简化了响应函数 $r(\mathcal{C})$。
• 研究表明，爱因斯坦关系可推广至非平衡态，但仅在特定结构条件下成立，例如每个粒子子空间中构型的均匀性。