[论文解读] Eisenstein Cohomology for GL(N) and ratios of critical values of Rankin-Selberg L-functions

Günter Harder, A. Raghuram|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 12

一句话总结

本论文通过运用Eisenstein上同调与Langlands的常数项定理，建立了在nn′为偶数时，关于全实数域F上GL(n) × GL(n′)的Rankin-Selberg L函数连续临界值之比的有理性结果。关键贡献在于，在考虑相对周期后，将先前针对Q上n为偶数、n′为奇数的结果推广至一般全实数域及偶数n, n′的情形。

ABSTRACT

The aim of this article is to study rank-one Eisenstein cohomology for the group GL(N)/F, where F is a totally real field extension of Q. This is then used to prove rationality results for ratios of successive critical values for Rankin-Selberg L-functions for GL(n) x GL(n') over F with the parity condition that nn' is even. The key idea is to interpret Langlands's constant term theorem in terms of Eisenstein cohomology.

研究动机与目标

• 将Rankin-Selberg L函数临界值之比的有理性结果推广至全实域F上GL(n) × GL(n′)的情形，当nn′为偶数时。
• 将先前针对Q上n为偶数、n′为奇数的情形所宣布的结果扩展，纳入n与n′均为偶数的情况。
• 通过Eisenstein上同调与边界上同调，建立一个上同调框架，以分析L函数的特殊值。
• 将Langlands的常数项定理解释为Eisenstein上同调的语言，从而推导出L值的算术信息。
• 在Borel–Serre紧化局部对称空间边界之强内上同调的背景下，定义并分析相对周期。

提出的方法

• 通过Borel–Serre紧化adèlic局部对称空间S^G_{K_f}，在全实域F上对GL(N)运用Eisenstein上同调。
• 应用庞加莱对偶性，并在边界上同调中识别最大迷向子空间，以分离Eisenstein上同调类。
• 利用收敛至边界上同调的谱序列，分析各个边界层的上同调及余上同调分量。
• 通过强内谱定义相对周期，并借助上同调工具将其与临界L值关联。
• 应用Langlands的常数项定理，将Eisenstein级数分解，并将其留数与上同调数据关联。
• 应用关于主导权与Weyl群作用的组合引理，以确定L函数的临界点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在nn′为偶数时，全实域F上GL(n) × GL(n′)的Rankin-Selberg L函数连续临界值之比在何种条件下为有理数？
• RQ2 Eisenstein上同调如何用于将Eisenstein级数的留数与L函数的特殊值关联？
• RQ3 在上同调设定中，相对周期在临界L值之比的有理性中起何种作用？
• RQ4 为何某些权的Weyl群像不存在，意味着诱导表示不会出现在GL(N)的边界上同调中？
• RQ5 边界上同调的结构及其分解为尖形式、平方可积与Eisenstein分量，如何促进对L函数特殊值的研究？

主要发现

• 在扣除相对周期后，全实域F上GL(n) × GL(n′)的Rankin-Selberg L函数L(s, σ × σ′)之连续临界值之比为有理数。
• 当n与n′均为偶数时，临界点s = −N/2与s = 1 − N/2为临界点，当且仅当无穷远处的局部L因子满足特定的非零与正则性条件。
• 当且仅当满足关于指数ℓ_i与ℓ′_j的条件(7.64)与(7.65)时，上同调L函数L(s, σ × σ′)在s = m处为正则。
• 若μ ⊗ μ′在扭曲Weyl作用下无主导Weyl群像，则此类诱导表示不会出现在GL(N)的边界上同调中，从而阻碍了某些上同调类的存在。
• 当边界强内上同调非零时，相对周期有定义且有限，从而保证了L值之比的有理性。
• Eisenstein上同调理论结合Langlands的常数项定理，为Eisenstein级数的留数提供了上同调解释，将其与临界点处的L值联系起来。