[论文解读] Eisenstein-Kronecker classes, integrality of critical values of Hecke $L$-functions and $p$-adic interpolation

Guido Kings, Johannes Sprang|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 6

一句话总结

该论文通过在CM阿贝尔簇的上同调中构造等变凝聚Eisenstein-Kronecker类，确立了任意全复数域上代数Hecke特征的Hecke L函数临界值的整性。利用这些类以及Poincaré丛的p进平凡化，作者在普通情形下构造了一个插值临界L值的p进测度，将Damerell、Shimura和Katz的经典结果推广至所有全复域。

ABSTRACT

We show that for an arbitrary totally complex number field $L$ the (regularized) critical $L$-values of algebraic Hecke characters of $L$ divided by certain periods are algebraic integers. This relies on a new construction of an equivariant coherent cohomology class with values in the completion of the Poincaré bundle on an abelian scheme $\cal{A}$. From this we obtain a cohomology class for the automorphism group of a CM abelian scheme $\cal{A}$ with values in some canonical bundles, which can be explicitly calculated in terms of Eisenstein-Kronecker series. As a further consequence, using an infinitesimal trivialization of the Poincaré bundle, we construct a $p$-adic measure interpolating the critical $L$-values in the ordinary case. This generalizes previous results for CM fields by Damerell, Shimura and Katz and settles the algebraicity and $p$-adic interpolation in the remaining open cases of critical values of Hecke $L$-functions.

研究动机与目标

• 解决关于CM域有限扩张上任意全复域中Hecke特征临界L值整性的开放问题。
• 将Katz在CM域上关于L值p进插值的结果推广至所有全复数域。
• 通过上同调方法构造一个在普通情形下插值临界值的p进测度。
• 通过等变凝聚Eisenstein-Kronecker类提供临界L值的统一上同调框架。
• 在任意全复域设定下确立临界L值的弱Deligne猜想。

提出的方法

• 通过Eisenstein-Kronecker级数，在阿贝尔簇上Poincaré丛的完备化中构造取值于等变凝聚上同调类的类。
• 显式计算等变凝聚Eisenstein-Kronecker类，以L函数的特殊值和周期表示。
• 利用Poincaré丛的无穷小平凡化，在cyclotomic Z_p扩张的伽罗瓦群上定义一个p进测度。
• 应用等变上同调的谱序列，将群上同调与不变量的导出函子联系起来。
• 通过拓扑与代数等变上同调之间的比较，计算商空间 $ E \times_\Gamma X $ 的上同调。
• 通过分析Hecke特征在伽罗瓦群上的作用并将其与L值匹配，推导出p进测度的插值性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当周期归一化后，任意全复数域上代数Hecke特征的Hecke L函数临界值是否为代数整数？
• RQ2 能否为任意全复域中普通情形下的Hecke特征临界L值构造一个插值的p进测度？
• RQ3 Eisenstein-Kronecker类如何用于统一CM与非CM域上特殊L值的上同调构造？
• RQ4 正则化L值的精确整性条件如何用判别式、导子和周期表示？
• RQ5 p进测度的构造是否可超越CM域？若可，其条件为何？

主要发现

• 在将 $ d_L \mathfrak{f} N(\mathfrak{c}) $ 的素因子倒数化后，临界L值 $ L(\chi,0) $ 经周期 $ \Omega^\alpha \Omega^{\vee\beta} $ 归一化后，属于某个数域 $ k $ 中的代数整数。
• 该整性结果适用于任意CM域有限扩张 $ L $ 上的所有代数Hecke特征，不仅限于CM域，推广了Damerell、Shimura和Katz的先前结果。
• 存在一个p进测度 $ \mu_{\mathscr{O}_L} $，它对 $ L $ 的所有Hecke特征的归一化临界L值实现插值，并在所有临界点满足插值性质。
• 该构造不依赖于函数方程，从而可统一处理所有临界值，与Katz的方法不同，后者依赖于函数方程。
• 该方法通过等变凝聚Eisenstein-Kronecker类提供了一个统一的上同调框架，即使在非CM域中也成立。
• 该结果确认了在任意全复域情形下临界L值的弱Deligne猜想，扩展了Blasius定理。