[论文解读] Eisenstein series and the cubic moment for PGL(2)

Paul D. Nelson|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 50被引用 10

一句话总结

该论文通过Eisenstein级数的正则化周期，利用新颖的向量构造，建立了一般数域上PGL(2)的中心L-值的立方矩公式，实现了任意矩权重的计算。证明了L-函数的Weyl型次凸界，将Conrey–Iwaniec和Petrow–Young的结果推广至数域，并改进了三元二次型表示数的估计以及算术双曲3-流形上素测地线定理的误差项。

ABSTRACT

Following a strategy suggested by Michel--Venkatesh, we study the cubic moment of automorphic $L$-functions on $\operatorname{PGL}_2$ using regularized diagonal periods of products of Eisenstein series. Our main innovation is to produce vectors whose integral transforms achieve arbitrarily weighted moments. Applications include general Motohashi-type identities and Weyl-type subconvex bounds for some families of $L$-functions, extending some results of Conrey--Iwaniec and Petrow--Young to the number field setting. We deduce improved estimates for representation numbers of ternary quadratic forms over number fields and for the prime geodesic theorem on arithmetic hyperbolic $3$-folds.

研究动机与目标

• 将PGL(2)上的Motohashi型恒等式和L-函数的次凸界推广至数域情形。
• 开发一种灵活的框架，利用Eisenstein级数的正则化对角周期计算自守L-函数的加权矩。
• 将Weyl型次凸界从有理数域推广至任意数域，改进了凸性界和先前的次凸界。
• 从数域上L-函数的次凸界导出三元二次型表示数的定量改进。
• 构造其积分变换能实现任意加权矩的向量，从而对谱恒等式实现精确控制。

提出的方法

• 利用Eisenstein级数乘积的正则化对角周期研究PGL(2)上L-函数的立方矩。
• 提出一种新方法，构造其积分变换能产生任意加权矩的向量，克服了标准谱方法的局限性。
• 应用局部函数方程和Mellin反演控制振荡积分，并推导Whittaker函数的估计。
• 采用Kirillov模型技术和解析新向量理论，构造具有所需不变性和衰减性质的向量。
• 使用Stirling型估计局部γ-因子并结合部分分部积分，控制函数方程中出现的振荡积分。
• 应用退化项理论和权的全纯族理论，控制谱展开中的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以足够的灵活性实施Michel–Venkatesh策略以在数域上获得L-函数的次凸界？
• RQ2 能否通过正则化周期的Eisenstein级数积分变换捕捉L-函数的任意加权矩？
• RQ3 从数域上L-函数的次凸界能导出三元二次型表示数的哪些改进？
• RQ4 PGL(2)上数域的L-函数次凸界如何改进算术双曲3-流形上素测地线定理的误差项？
• RQ5 解析新向量方法能否被调整以构造在Hecke算子作用下具有受控不变性和衰减性质的向量？

主要发现

• 证明了自守表示 $ \sigma $ 在数域 $ F $ 上的 $ \mathrm{PGL}_2(\mathbb{A}) $ 上的Weyl型次凸界 $ L(\sigma \otimes \chi, 1/2) \ll_{\sigma} C(\chi)^{1/3 + \varepsilon} $，其中隐含常数关于 $ C(\sigma) $ 多项式有界。
• 建立了对二次字符 $ \chi $ 的改进界 $ L(\chi, 1/2) \ll C(\chi)^{1/6 + \varepsilon} $，优于凸性界 $ C(\chi)^{1/4 + \varepsilon} $。
• 对全实数域上正定整系数三元二次型 $ Q $，导出表示数的估计 $ r_Q(n) = r(n) + O_Q(\mathrm{norm}(n)^{5/12 + \varepsilon}) $，将指数从 $ 7/16 + \vartheta/8 $ 改进至 $ 5/12 $。
• 将 $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}[i]) \backslash \mathbb{H}^3 $ 上素测地线定理的误差项从 $ X^{1.60023 + \varepsilon} $ 降低至 $ X^{67/42 + \varepsilon} \approx X^{1.59524 + \varepsilon} $。
• 构造了自守表示中的向量，使其积分变换能实现任意矩权重，从而实现对L-函数矩的灵活谱分析。
• 证明了解析新向量方法可被调整以构造在小平移下具有受控不变性的向量，这对控制函数方程中振荡积分至关重要。