[论文解读] Eisenstein series on rank 2 hyperbolic Kac--Moody groups over R

Lisa Carbone, Kyu‐Hwan Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文在实数域上的秩2双曲Kac–Moody群上定义了由拟特征标诱导的Eisenstein级数，并通过常数项的收敛性证明了其几乎处处收敛。本文计算了额外的傅里叶系数，并证明了由尖形式诱导的Eisenstein级数是整函数，将经典模形式理论推广至双曲Kac–Moody情形。

ABSTRACT

Abstract. We define Eisenstein series on rank 2 hyperbolic Kac–Moody groups over R, induced from quasi–characters. We prove convergence of the constant term and hence the almost everywhere convergence of the Eisenstein series. Then we calculate other Fourier coefficients of the series. We also consider Eisenstein series induced from cusp forms and show that these are entire functions. 1.

研究动机与目标

• 将Eisenstein级数理论推广至实数域上的秩2双曲Kac–Moody群情形。
• 建立由拟特征标诱导的Eisenstein级数的收敛性，特别是通过常数项分析。
• 计算这些Eisenstein级数的非常数傅里叶系数。
• 研究由尖形式诱导的Eisenstein级数的解析性质，证明其为整函数。

提出的方法

• 通过从拟特征标诱导的方式，在实数域上的秩2双曲Kac–Moody群上定义Eisenstein级数。
• 通过分析Eisenstein级数的常数项来证明其收敛性，从而推导出整个级数的几乎处处收敛性。
• 运用表示论技巧计算常数项以外的傅里叶系数。
• 应用双曲Kac–Moody群上尖形式的理论来构造Eisenstein级数，并分析其解析延拓。
• 利用非再规范化李群上的调和分析来处理该群的非紧致、非半单结构。
• 借助Kac–Moody群背景下自守形式与L函数的已知结果，推导出由尖形式诱导的级数的整性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在实数域上的秩2双曲Kac–Moody群上，当由拟特征标诱导时，Eisenstein级数是否几乎处处收敛？
• RQ2 此类Eisenstein级数的非常数傅里叶系数的显式形式是什么？
• RQ3 Eisenstein级数的常数项行为如何？其收敛性对整个级数意味着什么？
• RQ4 由该群上的尖形式诱导的Eisenstein级数是否为整函数？
• RQ5 该群及其表示理论的哪些结构性质使得经典Eisenstein级数理论能够推广至此情形？

主要发现

• Eisenstein级数的常数项收敛，这蕴含了在实数域上的秩2双曲Kac–Moody群上整个Eisenstein级数的几乎处处收敛性。
• 通过表示论方法显式计算了Eisenstein级数的非常数傅里叶系数。
• 证明了由该群上尖形式诱导的Eisenstein级数为整函数，扩展了模形式中的经典性质。
• 常数项的收敛性通过分析群的结构及拟特征标的性质得以确立。
• 结果展示了经典Eisenstein级数理论向双曲Kac–Moody情形的非平凡推广，保留了由尖形式诱导下整性等关键解析特性。