[论文解读] Eldan's Stochastic Localization and the KLS Conjecture: Isoperimetry, Concentration and Mixing

Yin Tat Lee, Santosh Vempala|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文建立了 $ \mathbb{R}^n $ 中各向同性 log-concave 分布的 Cheeger 常数的紧致 $ O(n^{1/4}) $ 上界，显著优于先前的 $ O(n^{1/3}\sqrt{\log n}) $ 上界。该结果通过 Eldan 的随机定位实现，这是一种基于鞅的变换过程，逐步引入高斯因子，从而改进了薄壳估计、Poincaré 常数和 log-Sobolev 常数的上界，以及球 walk 算法的混合时间。

ABSTRACT

We show that the Cheeger constant for $n$-dimensional isotropic logconcave measures is $O(n^{1/4})$, improving on the previous best bound of $O(n^{1/3}\sqrt{\log n}).$ As corollaries we obtain the same improved bound on the thin-shell estimate, Poincaré constant and Lipschitz concentration constant and an alternative proof of this bound for the isotropic (slicing) constant; it also follows that the ball walk for sampling from an isotropic logconcave density in ${\bf R}^{n}$ converges in $O^{*}(n^{2.5})$ steps from a warm start. The proof is based on gradually transforming any logconcave density to one that has a significant Gaussian factor via a Martingale process. Extending this proof technique, we prove that the log-Sobolev constant of any isotropic logconcave density in ${\bf R}^{n}$ with support of diameter $D$ is $Ω(1/D)$, resolving a question posed by Frieze and Kannan in 1997. This is asymptotically the best possible estimate and improves on the previous bound of $Ω(1/D^{2})$ by Kannan-Lovász-Montenegro. It follows that for any isotropic logconcave density, the ball walk with step size $δ=Θ(1/\sqrt{n})$ mixes in $O\left(n^{2}D ight)$ proper steps from \emph{any }starting point. This improves on the previous best bound of $O(n^{2}D^{2})$ and is also asymptotically tight. The new bound leads to the following large deviation inequality for an $L$-Lipschitz function $g$ over an isotropic logconcave density $p$: for any $t>0$, \[ Pr_{x\sim p}\left(\left|g(x)-\bar{g} ight|\geq L\cdot t ight)\leq\exp(-\frac{c\cdot t^{2}}{t+\sqrt{n}}) \] where $\bar{g}$ is the median or mean of $g$ for $x\sim p$; this generalizes and improves on previous bounds by Paouris and by Guedon-Milman. The technique also bounds the ``small ball'' probability in terms of the Cheeger constant, and recovers the current best bound.

研究动机与目标

• 改进 $ \mathbb{R}^n $ 中各向同性 log-concave 分布的 Cheeger 常数的最佳已知上界。
• 建立更紧致的薄壳估计、Poincaré 常数和利普希茨集中常数的上界。
• 解决 Frieze 和 Kannan 于 1997 年提出的问题，证明对于支撑直径为 $ D $ 的测度，log-Sobolev 常数为 $ \Omega(1/D) $。
• 将球 walk 算法的混合时间上界从 $ O^*(n^2 D^2) $ 改进至 $ O(n^2 D) $，该界在渐近意义下是紧致的。
• 推导出一个关于利普希茨函数的新大偏差不等式，其尾部衰减更优。

提出的方法

• 采用 Eldan 的随机定位，一种连续的鞅过程，逐步将 log-concave 密度转化为具有显著高斯因子的密度。
• 使用递归定位框架，每一步减少测度的各向异性，利用二次型的矩界。
• 通过二进制谱投影将协方差算子分解，以控制高阶矩。
• 通过集中性论证建立定位过程算子范数的上界，证明 $ \mathbb{P}(\max_t \|A_t\|_{\mathrm{op}} \geq 2) \leq 2\exp(-1/(cT)) $，其中 $ T \leq 1/(c k (\log n)^{1-1/k} n^{1/k}) $。
• 重新审视并改进 Eldan 原始工作中引理 39 的结果，当 $ k=2 $ 时，将 $ \sqrt{\log n} $ 的损失因子降低为 $ (\log n)^{1/4} $。
• 推导出一个新的大偏差不等式：$ \mathbb{P}(|g(x) - \bar{g}| \geq L t) \leq \exp(-c t^2 / (t + \sqrt{n})) $，该不等式推广并改进了 Paouris 与 Guedon-Milman 的早期结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 各向同性 log-concave 测度的 Cheeger 常数能否被更紧地界定，优于 $ O(n^{1/3}\sqrt{\log n}) $？
• RQ2 log-Sobolev 常数对 log-concave 测度支撑直径 $ D $ 的最优依赖关系为何？
• RQ3 球 walk 算法在抽样各向同性 log-concave 密度时，其混合时间能否优于 $ O(n^2 D^2) $ 步？
• RQ4 Eldan 的随机定位技术是否可通过减少对数损失因子，实现对 KLS 猜想的更紧分析？
• RQ5 能否推导出一个新大偏差不等式，统一捕捉子高斯与类子高斯尾部特性？

主要发现

• 任何 $ \mathbb{R}^n $ 中的各向同性 log-concave 测度的 Cheeger 常数上界为 $ O(n^{1/4}) $，优于先前的最佳上界 $ O(n^{1/3}\sqrt{\log n}) $。
• 薄壳估计、Poincaré 常数和利普希茨集中常数的上界均为 $ O(n^{1/4}) $。
• 任何支撑直径为 $ D $ 的各向同性 log-concave 密度的 log-Sobolev 常数为 $ \Omega(1/D) $，解决了 Frieze 和 Kannan 于 1997 年提出的问题。
• 当步长 $ \delta = \Theta(1/\sqrt{n}) $ 时，球 walk 算法从任意初始点出发，可在 $ O(n^2 D) $ 次有效步长内混合，优于先前的 $ O(n^2 D^2) $ 上界。
• 新的大偏差不等式表明，对任意 $ L $-利普希茨函数 $ g $，有 $ \mathbb{P}(|g(x) - \bar{g}| \geq L t) \leq \exp(-c t^2 / (t + \sqrt{n})) $，该不等式推广并改进了先前的结果。
• 该方法恢复了当前关于小球概率的最优上界，以 Cheeger 常数表示，确认其在渐近意义下的最优性。