[论文解读] Electroconvective instability of self-similar equilibria

E. A. Demekhin, S. V. Polyanskikh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Membrane-based Ion Separation Techniques参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文提出了一类新的在一维、非定常、自相似平衡态下的电渗流模型，其解基于渐近分析推导，并通过数值方法验证。结果表明，在特定条件下，这些瞬态平衡态表现出电渗流不稳定性，且渐近方法与数值方法所得的临界稳定曲线在中等到大时间及小德拜长度条件下具有良好的一致性。

ABSTRACT

Stability of electro-hydrodynamic processes between ion-exchange membranes is investigated. Solutions of the equilibrium problem are commonly described in the one-dimensional (1D) steady-state approximation. In the present work, a novel class of 1D unsteady self-similar equilibrium solutions is developed, whose existence is supported by recent experiments. 1D unsteady two-parametric family of self-similar equilibrium solutions and their stability are studied both asymptotically in small dimensionless Debye length, and numerically. The self-similar solutions and marginal stability curves obtained in both approaches are in a fair agreement with each other at intermediately large times for which the dimensionless distance between membranes is large.

研究动机与目标

• 推导离子交换膜之间电水动力系统的一类新的、一维的、非定常的、自相似平衡态解。
• 分析这些自相似平衡态的线性稳定性，识别导致电渗流不稳定的条件。
• 将小无量纲德拜长度极限下的渐近解与全系统的直接数值模拟进行比较。
• 构建临界稳定曲线，并以关键无量纲参数 $1/\tilde{\nu}$、$\tilde{\nu}$ 和 $\tilde{\nu}$ 表示不稳定性发生的临界点。
• 通过识别渐近方法在“欠限电流”与“限电流”区域过渡区的局限性，解决在临界点附近的差异。

提出的方法

• 从完整的电水动力学模型中推导出简化方程组，包含用于离子输运和流体流动的泊松方程与斯托克斯方程。
• 在小无量纲德拜长度（$\tilde{\nu} \to 0$）极限下应用匹配渐近展开法，获得外层解，忽略内边界层贡献。
• 在 $y = 0$ 和 $y = y_m$ 处使用匹配条件，近似外层解，而无需求解薄边界层。
• 对所得非线性系统进行渐近求解，获得离子浓度 $c^{/pm}$、电场强度 $F$ 和电势差 $\tilde{\nu}$ 的解析表达式。
• 通过全问题的数值模拟验证渐近结果，尤其在限电流区域。
• 通过分析扰动的增长率，在 $(1/\tilde{\nu}, \tilde{\nu})$ 平面上构建临界稳定曲线，并给出短波与长波极限下的渐近近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小德拜长度极限下，能否为离子交换膜之间的1D电渗流系统导出自相似非定常解？
• RQ2 这些自相似平衡态的稳定性特征在渐近分析与直接数值模拟之间有何异同？
• RQ3 哪些关键参数（$1/\tilde{\nu}_0$、$\tilde{\nu}_0$、$\tilde{\nu}_0$）可将参数空间中的稳定区与不稳定区分隔开？
• RQ4 为何渐近方法在临界稳定曲线附近出现偏差？
• RQ5 在短波与长波极限下，临界稳定曲线的上支与下支的标度律为何？

主要发现

• 推导出一个双参数族的一维非定常自相似平衡态解，适用于中等到大时间及小德拜长度条件。
• 电场与离子浓度的渐近解与数值模拟结果在整体上具有良好一致性，尤其在限电流区域。
• 渐近方法与数值方法所得的临界稳定曲线整体吻合良好，但在临界点附近存在偏差，原因在于渐近方法在接近欠限电流区时失效。
• 临界稳定曲线的上支满足 $\tilde{\nu} \to Q(\tilde{\nu}) (1/\tilde{\nu})^{2/3}$，其中 $Q(\tilde{\nu})$ 对不同 $\tilde{\nu}$ 值进行了数值表格化。
• 下支满足 $\tilde{\nu} \to R(\tilde{\nu})$，其中 $R(\tilde{\nu})$ 同样进行了数值表格化，且扰动增长的时间间隔 $\tilde{\tilde{t}}$ 估计为 $\tilde{\tilde{t}} \to \frac{k^4 Q^6 - R^2}{4 \tilde{\nu}^2 \tilde{D}}$。
• 对不同 $\tilde{\nu}$ 值计算了临界参数 $1/\tilde{\nu}_0$、$\tilde{\nu}_0$ 与 $\tilde{\nu}_0$，结果表明当扰动波数 $k < k_0$ 时，系统将出现不稳定性。