[论文解读] Electromagnetic and Gravitational Radiation in All Dimensions: A Classical Field Theory Treatment

Yi-Zen Chu|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2021

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文使用延迟格林函数，在所有时空维度中推导出经典电磁偶极子和引力四极子辐射公式。结果表明，在奇数维度中，由于非零传播导致辐射尾迹出现，辐射依赖于过去源历史的积分，而不仅限于延迟时间；然而，单色源对远处观测者而言，其持续时间仍近似相同，仅增加相位移动和瞬态的反平方根项。

ABSTRACT

How long does a light bulb shine in odd dimensional flat spacetimes, according to a distant observer? This question is non-trivial because electromagnetic and gravitational waves, despite being comprised of massless particles, can develop tails: they travel inside the light cone. To this end, I attempt to close a gap in the literature by first deriving, strictly within classical field theory, the real-time electromagnetic dipole and gravitational quadrupole energy and angular momentum radiation formulas in all relevant dimensions. The even dimensional case, where massless signals travel strictly on the null cone, depends on the time derivatives of the dipoles and quadrupoles solely at retarded time; whereas the odd dimensional ones involve an integral over their retarded histories. Despite the propagation of light inside the null cone, however, I argue that a monochromatic light bulb of some intrinsic duration in odd dimensions remains approximately the same apparent duration to a distant detector, though the tail effect does produce a phase shift and adds to the signal several transitory non-oscillatory inverse square roots in time.

研究动机与目标

• 通过在所有时空维度中推导电磁偶极子和引力四极子的实时辐射公式，填补经典场论中的一个空白。
• 阐明奇数维与偶数维中质量less辐射的因果结构，特别是奇数维中尾迹效应的起源。
• 在奇数维 d ≥ 5 中，首次以经典、实时方式推导引力四极子辐射公式，此前此类公式在文献中尚属未知。
• 证明尽管存在尾部传播，奇数维中单色源对远处观测者而言，其外观持续时间仍近似相同。
• 通过分析延迟格林函数及其与时空维度的关系，统一理解高维中的辐射行为。

提出的方法

• 使用分布理论，分别在偶数维（d ≥ 4）和奇数维（d ≥ 3）中推导 d 维波动算子的延迟格林函数。
• 利用格林函数，通过与源项的卷积计算电磁偶极子和引力四极子的能量与角动量辐射。
• 应用球谐函数和贝塞尔函数展开方法，处理 d 维空间中的角向积分，特别是辐射场中的积分。
• 采用贝塞尔函数的幂级数表示和张量缩并技术，计算球面 S^{d-2} 上的角向积分。
• 引入“缩并求和”形式化方法，系统计算 k^{2ℓ} 的导数，并将其与克罗内克δ函数的对称张量积关联。
• 通过与已知的 3+1D 极限比较验证结果，并检查其与因果性及 1/r 展开中缩放行为的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在奇数维时空中，电磁偶极子辐射如何依赖于源的历史？与偶数维有何不同？
• RQ2 在奇数维 d ≥ 5 中，引力四极子辐射公式的具体形式是什么？与 3+1D 情况有何差异？
• RQ3 为何质量less波在奇数维中会在光锥内传播（产生尾迹）？这对单色源的观测持续时间有何影响？
• RQ4 远处观测者能否根据信号波形和持续时间，区分奇数维中的有限持续时间源与偶数维中的源？
• RQ5 在 d 维时空中，辐射场如何随距离变化？能量通量的 1/r 缩放行为由什么决定？

主要发现

• 在偶数维 d ≥ 4 中，电磁与引力辐射仅依赖于源在延迟时间的偶极矩与四极矩，与零传播一致。
• 在奇数维 d ≥ 3 中，由于延迟格林函数的尾部效应，辐射依赖于源偶极矩与四极矩在整个过去历史上的积分。
• 尽管存在尾部传播，奇数维中一个单色灯泡对远处观测者而言，其外观持续时间仍近似相同，仅在信号中增加相位移动和瞬态的反平方根项。
• 首次在经典场论中以实时方式推导出奇数维 d ≥ 5 中的引力四极子辐射公式，解决了文献中的一个空白。
• 能量通量在 d 维中按 1/r^{d-2} 缩放，辐射场按 1/r^{(d/2)-1} 缩放，确保能量可无限远处有限损失。
• 通过贝塞尔函数恒等式与缩并规则，对 d−2 维球面上的张量积分进行求值，得到辐射场角向依赖性的显式表达式。