[论文解读] Electromagnetic Stekloff eigenvalues: existence and behavior in the selfadjoint case

Martin Halla|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Numerical methods in inverse problems参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文在自伴情形下建立了电磁Stekloff特征值问题的完整谱结构，证明了存在两组无限特征值序列：一组在正无穷处累积（正特征值），另一组在零处累积（负特征值），且零是谱的唯一连续谱点。分析采用块算子分解与Schur补技术，通过不动点论证证明了特征值的存在性。

ABSTRACT

In [Camano, Lackner, Monk, SIAM J. Math. Anal., Vol. 49, No. 6, pp. 4376-4401 (2017)] it was suggested to use Stekloff eigenvalues for Maxwell equations as target signature for nondestructive testing via inverse scattering. The authors recognized that in general the eigenvalues due not correspond to the spectrum of a compact operator and hence proposed a modified eigenvalue problem with the desired properties. The Fredholmness and the approximation of both problems were analyzed in [Halla, arXiv:1909.00689 (2019)]. The present work considers the original eigenvalue problem in the selfadjoint case. We report that apart for a countable set of particular frequencies, the spectrum consists of three disjoint parts: The essential spectrum consisting of the point zero, an infinite sequence of positive eigenvalues which accumulate only at infinity and an infinite sequence of negative eigenvalues which accumulate only at zero. The analysis is based on a representation of the operator as block operator. For small/big enough eigenvalue parameter the Schur-complements with respect to different components can be build. For each Schur-complement the existence of an infinite sequence of eigenvalues is proved via a fixed point technique similar to [Cakoni, Haddar, Applicable Analysis, 88:4, 475-493 (2009)]. The modified eigenvalue problem considered in the above references arises as limit of one of the Schur-complements.

研究动机与目标

• 提供电磁Stekloff特征值问题在自伴情形下的完整谱刻画。
• 解决原始Stekloff特征值问题的Fredholm性质与谱性质，该问题缺乏紧致性，因此不适用于经典特征值理论。
• 阐明原始问题与先前工作中提出的修正Stekloff特征值问题之间的关系。
• 建立两组无限特征值序列的存在性——一组在正无穷处累积（正特征值），另一组在零处累积（负特征值），且零为唯一的连续谱点。

提出的方法

• 通过底层算子的块算子分解分析该问题，从而可应用Schur补技术。
• 对于大的谱参数λ，构造并分析关于无散分量的Schur补，采用类似于Cakoni与Haddar（2009）的不动点论证。
• 对于小的λ，分析关于梯度分量的Schur补，从而证明在零处累积的负特征值的存在性。
• 证明算子函数A_X(λ)是Fredholm的充要条件是λ ≠ 0，且其谱为实数。
• 分析依赖于在μ与ε的最小假设下对H(curl)空间与迹空间的适配正则性与嵌入结果。
• 证明修正的特征值问题作为原始问题在大λ时的渐近极限，但未导出任何非平凡的渐近特征值行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自伴情形下，电磁Stekloff特征值问题的完整谱结构是什么？
• RQ2 为何原始Stekloff特征值问题不具紧致性，这如何影响其谱性质？
• RQ3 原始问题的谱与Camano等人（2017）提出的修正版本之间有何关系？
• RQ4 能否通过算子理论方法严格证明存在无限组正负特征值序列？
• RQ5 Schur补在分析λ = 0与λ = ∞附近谱行为中起何作用？

主要发现

• 电磁Stekloff特征值问题的谱由三部分不相交的集合构成：连续谱{0}，仅在正无穷处累积的正特征值无限序列，以及仅在零处累积的负特征值无限序列。
• 当λ接近零时，存在c₀ > 0，使得在(0, c₀)内无谱点，且已证明存在在零处累积的无限负特征值序列。
• 当λ接近无穷时，存在c∞ > 0，使得在(−∞, −c∞)内无谱点，且已确立在+∞处累积的无限正特征值序列。
• 修正的特征值问题作为原始问题在大λ时的渐近极限出现，但未获得任何非平凡的渐近特征值行为。
• 原始问题提供的谱信息比修正版本更丰富，提示其在反散射应用中可能具有优势。
• 在H(curl)分解下，特征值问题可解耦，使得可通过Schur补分别分析无散分量与梯度分量。