[论文解读] Elements of Stochastic Calculus via Regularisation

Francesco Russo, Pierre Vallois|ArXiv.org|Mar 9, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 15

一句话总结

本文通过正则化方法发展随机微积分，利用前向、后向和对称积分，统一了伊藤积分与斯特拉托诺维奇积分的框架。证明了对于连续半鞅，前向积分与伊藤积分一致，并为有限二次变差过程推导出$C^2$型伊藤公式，进一步推广至弱Dirichlet过程与可逆半鞅，适用于分数布朗运动。

ABSTRACT

This paper first summarizes the foundations of stochastic calculus via regularization and constructs through this procedure Itô and Stratonovich integrals. In the second part, a survey and new results are presented in relation with finite quadratic variation processes, Dirichlet and weak Dirichlet processes.

研究动机与目标

• 通过正则化方法建立随机微积分的严格基础，尤其针对有限二次变差过程。
• 通过前向积分与对称积分统一伊藤积分与斯特拉托诺维奇积分，证明其在特定条件下的等价性。
• 将伊藤型微积分推广至弱Dirichlet过程与可逆半鞅过程，包括由分数布朗运动驱动的过程。
• 研究协变差与$C^1$-稳定性在经典半鞅理论之外的随机积分中的作用。
• 证明基于正则化的积分路径几乎必然逼近伊藤积分，从而弥合路径积分与概率性随机微积分之间的鸿沟。

提出的方法

• 通过$\varepsilon$-正则化积分在$\varepsilon \to 0^+$时的极限，定义前向、后向、对称及协变差积分。
• 利用ucp（概率一致收敛）收敛性定义前向积分$\int_0^t Y d^{-}X = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_0^t Y(s) \frac{X(s+\varepsilon) - X(s)}{\varepsilon} ds$。
• 证明对于连续半鞅，前向积分与伊藤积分一致，从而在正则化方法与经典随机微积分之间建立桥梁。
• 利用对称积分与协变差项，为有限二次变差过程推导出$C^2$型伊藤公式。
• 运用泛函分析方法，将伊藤积分的定义从适应过程与平方可积被积函数的限制中推广出去。
• 利用弱Dirichlet过程与可逆半鞅的概念，在$C^1$-正则性条件下推广伊藤公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，通过正则化得到的前向积分与经典伊藤积分一致？
• RQ2 如何利用对称积分为具有有限二次变差的过程推导出$C^2$型伊藤公式？
• RQ3 协变差与$C^1$-稳定性在将伊藤微积分推广至非半鞅过程中的作用是什么？
• RQ4 基于正则化的积分能否一致几乎必然逼近伊藤积分？这对路径积分随机微积分意味着什么？
• RQ5 在使用对称积分时，伊藤公式在$H > \frac{1}{6}$的分数布朗运动过程中可推广到何种程度？

主要发现

• 对于连续半鞅及适应过程$Y$满足$\int_0^T Y_s^2 ds < \infty$ a.s.，前向积分$\int_0^t Y d^{-}X$与伊藤积分$\int_0^t Y dX$一致。
• 为有限二次变差过程建立了$C^2$型伊藤公式：$f(X_t) = f(X_0) + \int_0^t f'(X_s) d^\circ X_s + \frac{1}{2}[f'(X), X]_t$。
• 对于可逆半鞅$S = M + V$，若$g \in C^0(\mathbb{R})$，则协变差$[g(S), S]$存在且具有零二次变差，意味着$[g(S), S]$为有变差过程。
• 若$g(W)$为有限二次变差过程，则$g$在紧区间上必有有界变差，此结论由$f' = g$时$f(W)$的半鞅性质得出。
• 对称积分$\int_0^t Y d^\circ X$等价于斯特拉托诺维奇积分，且当$f \in C^2$时，有$f(S_t) = f(S_0) + \int_0^t f'(S) d^\circ S$。
• 当$H > \frac{1}{6}$时，分数布朗运动$B^H$满足伊藤公式$f(B_t) = f(B_0) + \int_0^t f'(B) d^\circ B$，且正则化确保逼近过程一致几乎必然收敛。