[论文解读] Elicitability and its Application in Risk Management

Jonas R. Brehmer|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2017

Risk and Portfolio Optimization参考文献 31被引用 5

一句话总结

本硕士论文研究了统计预测与风险管理中的可引出性（elicitability）概念，重点关注严格一致评分函数如何激励对分布泛函的准确报告。研究证明，尽管常见的风险度量如风险价值（Value at Risk）具有可引出性，但预期短缺（Expected Shortfall）却不具备——然而，它可与风险价值联合引出，从而解决了风险管理中的一个关键矛盾。

ABSTRACT

Elicitability is a property of $\mathbb{R}^k$-valued functionals defined on a set of distribution functions. These functionals represent statistical properties of a distribution, for instance its mean, variance, or median. They are called elicitable if there exists a scoring function such that the expected score under a distribution takes its unique minimum at the functional value of this distribution. If such a scoring function exists, it is called strictly consistent for the functional. Motivated by the recent findings of Fissler and Ziegel concerning higher order elicitability, this thesis reviews the most important results, examples, and applications which are found in the relevant literature. Moreover, we also contribute our own examples and findings in order to give the reader a well-founded overview of the topic as well as of the most used tools and techniques. We include necessary and sufficient conditions for strictly consistent scoring functions, several elicitable as well as non-elicitable functionals and the use of elicitability in forecast comparison, regression, and estimation. Special emphasis is placed on quantitative risk management and the result that Value at Risk and Expected Shortfall are jointly elicitable.

研究动机与目标

• 考察可引出性的理论基础及其在严格一致评分函数下确保诚实预测中的作用。
• 解决风险管理中的核心问题：预期短缺具有共轭性但不可引出，而风险价值可引出但不具共轭性。
• 证明预期短缺可与风险价值联合引出，从而解决共轭性与可引出性之间的权衡问题。
• 将可引出性理论扩展至向量值泛函，特别是在风险度量背景下的应用。
• 提供在预测比较、回归与估计中应用可引出性原则的实际案例。

提出的方法

• 采用定义在分布族上的统计泛函框架，通过严格一致评分函数定义可引出性。
• 应用奥斯班德原理（Osband’s principle）刻画给定泛函的严格一致评分函数。
• 运用联合可引出性的概念，证明即使各分量单独不可引出，向量值泛函（如 (VaRα, ESα)）仍可引出。
• 分析方差与期望分位数等实例，表明尽管方差单独不可引出，但与均值联合后即可引出。
• 基于 Gneiting（2016）、Fissler 和 Ziegel（2016）等人的成果，建立可引出性的必要与充分条件。
• 通过勒贝格-斯蒂尔杰斯积分与可微性证明等数学分析，验证特定实例中的理论主张。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些风险度量具有可引出性，为何这一性质对激励相容的预测至关重要？
• RQ2 能否通过与另一泛函（如风险价值）联合引出，使预期短缺具备可引出性？
• RQ3 对于给定泛函，评分函数严格一致的必要与充分条件是什么？
• RQ4 联合可引出性如何解决风险度量中共轭性与可引出性之间的矛盾？
• RQ5 可引出性对定量风险管理中比较性回溯检验与模型评估有何影响？

主要发现

• 风险价值（VaR）具有可引出性，为激励相容的风险报告提供了基础。
• 预期短缺（ES）作为一元泛函不可引出，这削弱了其在比较性回溯检验中的应用。
• 预期短缺可与风险价值联合引出，该结论由 Fissler 和 Ziegel（2016）证明，解决了共轭性与可引出性之间的矛盾。
• 所有具有有限谱（不同水平下预期短缺的有限凸组合）的谱风险度量均可联合引出。
• 向量值泛函（均值，方差）具有可引出性，尽管方差单独不可引出，这体现了联合可引出性的强大能力。
• 期望分位数风险价值（EVaR）既具有共轭性又可引出，为风险管理框架中预期短缺提供了一种替代方案。