[论文解读] Elie Cartan's torsion in geometry and in field theory, an essay

Friedrich W. Hehl, Yuri N. Obukhov|ArXiv.org|Nov 9, 2007

Mathematics and Applications参考文献 54被引用 35

一句话总结

本文全面回顾了微分几何中的扭量及其在场论中的应用，强调了埃利·嘉当的几何表述及其在统一场论中的作用。研究确立了扭量自然地出现在具有局域平移与旋转对称性的时空理论中，如爱因斯坦-嘉当引力与规范引力（teleparallel gravity），其中扭量与连续体中的自旋及位错类结构相关联，关键结果源自嘉当的结构方程与比安基恒等式。

ABSTRACT

We review the application of torsion in field theory. First we show how the notion of torsion emerges in differential geometry. In the context of a Cartan circuit, torsion is related to translations similar as curvature to rotations. Cartan's investigations started by analyzing Einsteins general relativity theory and by taking recourse to the theory of Cosserat continua. In these continua, the points of which carry independent translational and rotational degrees of freedom, there occur, besides ordinary (force) stresses, additionally spin moment stresses. In a 3-dimensional continuized crystal with dislocation lines, a linear connection can be introduced that takes the crystal lattice structure as a basis for parallelism. Such a continuum has similar properties as a Cosserat continuum, and the dislocation density is equal to the torsion of this connection. Subsequently, these ideas are applied to 4-dimensional spacetime. A translational gauge theory of gravity is displayed (in a Weitzenboeck or teleparallel spacetime) as well as the viable Einstein-Cartan theory (in a Riemann-Cartan spacetime). In both theories, the notion of torsion is contained in an essential way. Cartan's spiral staircase is described as a 3-dimensional Euclidean model for a space with torsion, and eventually some controversial points are discussed regarding the meaning of torsion.

研究动机与目标

• 阐明微分几何中扭量的几何与物理意义，特别是嘉当联络的上下文及其与平行移动的关系。
• 展示扭量如何通过引力的规范理论框架在场论中出现，尤其在爱因斯坦-嘉当理论与规范引力中。
• 建立扭量与物理量（如柯塞尔特连续体中的自旋矩应力与晶格中的位错密度）之间的联系。
• 利用微分形式与嘉当的结构方程分析4维时空中的扭量作用，揭示其对场方程与相容性条件的影响。
• 通过比较各类模型中的几何实现与物理实现，解决关于扭量物理诠释的观念争议。

提出的方法

• 通过微分形式形式化扭量：使用嘉当结构方程 $ T^eta = d heta^eta + ilde{ heta}_ ho{}^eta heta^ ho $，其中 $ heta^eta $ 为余标架，$ ilde{ heta}_ ho{}^eta $ 为联络1-形式。
• 从外协变导数推导第一与第二比安基恒等式：分别为 $ DT^eta = R_ ho{}^eta heta^ ho $ 与 $ DR_eta{}^ ho = R_ ho{}^ au heta^ au $。
• 通过引入余标架与联络，将形式化应用于4维时空，从而在黎曼-嘉当几何与维岑鲍克几何中定义扭量与曲率。
• 将柯塞尔特连续体的形变与余标架及联络的李导数联系起来，其中平移与旋转形变分别由 $ eta^eta = D u^eta - ilde{ heta}_ ho{}^eta u^ ho + u floor T^eta $ 与 $ ilde{ heta}_ ho{}^eta = D ilde{ heta}_ ho{}^eta + u floor R_ ho{}^eta $ 给出。
• 以平坦欧几里得背景为参考，推导无曲率情况下的形变度量，然后推广至非平凡的黎曼-嘉当几何。
• 将庞加莱规范理论变换与曲率时空中的导出形变定律相协调，表明其与几何形式的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 扭量在微分几何中如何几何地出现，其在时空理论中的物理意义是什么？
• RQ2 扭量通过爱因斯坦-嘉当理论与规范引力如何推广广义相对论？
• RQ3 扭量与晶体材料中的位错密度及柯塞尔特连续体中的自旋矩应力有何关联？
• RQ4 嘉当结构方程与比安基恒等式在表征4维时空中的扭量与曲率方面起什么作用？
• RQ5 柯塞尔特连续体的形变度量如何与非平凡几何背景中速度与联络场的协变导数相关？

主要发现

• 扭量破坏了无穷小平行四边形的闭合性，表现为平行移动中的平移缺陷，其中 $ T_{ij}{}^k = 2 ilde{ heta}_{[ij]}{}^k \neq 0 $，这使其与曲率相区别。
• 在爱因斯坦-嘉当理论中，扭量由物质的自旋密度源生成，场方程由具有非零扭量的嘉当结构方程导出。
• 在规范引力（维岑鲍克时空）中，联络是平坦的（$ R_eta{}^ ho = 0 $），但扭量非零，且作为引力的场强。
• 柯塞尔特连续体的形变在几何上由 $ \beta^\alpha = D u^\alpha - \omega^\alpha{}_ one \vartheta^\beta + u \rfloor T^\alpha $ 描述，其中 $ \omega^\alpha{}\beta $ 为形变的旋转部分。
• 在黎曼-嘉当时空中，由于非平凡的扭量与曲率，相容性条件 $ \stackrel{\circ}{D}\beta^\alpha + \kappa_\beta{}^\alpha \wedge \vartheta^\beta = 0 $ 与 $ \stackrel{\circ}{D}\kappa_\beta{}^\alpha = 0 $ 被破坏。
• 在曲率时空中导出的形变定律在符号适当调整后与庞加莱规范理论变换一致，证实其与规范场论的一致性。