[论文解读] Elimination distance to bounded degree on planar graphs

Alexander Lindermayr, Sebastian Siebertz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2020

semigroups and automata theory被引用 8

一句话总结

该论文证明了在平面图上，计算到有界度图的消除距离问题是固定参数可追踪的，结合了树宽分析、网格极小分解和无关顶点技术。关键结果是一个时间复杂度为 $ f(k,d) ullet n^c $ 的算法，证明了参数 $ k $（消除距离）和 $ d $（最大度）下的固定参数可追踪性。

ABSTRACT

We study the graph parameter elimination distance to bounded degree, which was introduced by Bulian and Dawar in their study of the parameterized complexity of the graph isomorphism problem. We prove that the problem is fixed-parameter tractable on planar graphs, that is, there exists an algorithm that given a planar graph $G$ and integers $d$ and $k$ decides in time $f(k,d)\cdot n^c$ for a computable function~$f$ and constant $c$ whether the elimination distance of $G$ to the class of degree $d$ graphs is at most $k$.

研究动机与目标

• 解决 Bulian 和 Dawar 留下的关于平面图上消除距离到有界度图的参数复杂性问题。
• 将固定参数可追踪结果扩展到非极小封闭类之外，因为有界度图的类不是极小封闭类。
• 为排除 $ K_5 $ 作为极小图的图构建一个结构化算法框架，重点关注到 $ \mathscr{C}_d $ 的消除距离。
• 证明在 $ K_5 $-极小自由图（包括平面图）上，消除距离问题对参数 $ k $ 和 $ d $ 是固定参数可追踪的。

提出的方法

• 当输入图的树宽由 $ k $ 的函数有界时，应用 Courcelle 定理，利用 $ \mathscr{C}_{k,d} $ 的一阶逻辑（MSO）可定义性。
• 利用平面图的结构，在多项式时间内计算出大小为 $ h(k) = (4k+5) \cdot k \cdot (2k+1) $ 的大网格极小。
• 基于网格极小的分支集进行结构分析，以检测度数较高（$ \geq d+1 $）的顶点及其邻域。
• 若超过 $ k \cdot (2k+1)^2 $ 个分支集包含高阶顶点，则利用推论 8 排除其属于 $ \mathscr{C}_{k,d} $ 的可能性。
• 利用推论 11 识别出一个 $ (k,d) $-安全分支集，表明存在一个可移除而不影响 $ \mathscr{C}_{k,d} $ 成员关系的无关顶点。
• 迭代移除无关顶点，直到树宽变小（情况 1）或高阶顶点条件触发否定答案（情况 2.1）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面图上，到有界度图类的消除距离问题是否是固定参数可追踪的？
• RQ2 当目标类 $ \mathscr{C}_d $ 不是极小封闭类时，能否高效求解消除距离问题？
• RQ3 在 $ K_5 $-极小自由图中，若存在大网格极小，是否可通过无关顶点技术实现结构化约简？
• RQ4 树宽分析与网格极小分解的结合，能否用于推导稀疏图类上消除距离问题的固定参数可追踪算法？

主要发现

• 在排除 $ K_5 $ 作为极小图的图（包括平面图）上，到有界度图的消除距离问题是固定参数可追踪的，参数为 $ k $ 和 $ d $。
• 存在一个算法，可在时间 $ f(k,d) \cdot n^c $ 内判断一个平面图是否具有至多 $ k $ 的消除距离到最大度为 $ d $ 的图类，其中 $ f $ 是可计算函数，$ c $ 是常数。
• 该证明依赖于基于网格极小的结构分解，以及在高阶顶点于极小中稀疏时识别无关顶点的方法。
• 若一个网格极小中超过 $ k \cdot (2k+1)^2 $ 个分支集包含度数至少为 $ d+1 $ 的顶点，则该图不可能具有到 $ \mathscr{C}_d $ 的消除距离 $ k $。
• 当此类分支集数量较小时，存在一个 $ (k,d) $-安全分支集，从而可通过无关顶点检测实现迭代顶点移除。
• 整体算法的时间复杂度为 $ f(k,d) \cdot n^c $，结合了多项式时间预处理与基于树宽和结构分解的固定参数可追踪步骤。