[论文解读] Elimination Distances, Blocking Sets, and Kernels for Vertex Cover

Eva-Maria C. Hols, Stefan Kratsch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用 9

一句话总结

本文通过引入阻断集（blocking sets）和到结构性图类的消除距离（elimination distance），统一并推广了关于顶点覆盖问题的多项式核化结果。证明了有界最小阻断集大小是多项式核化的必要条件但非充分条件，并表明当阻断集有界且可计算时，模化器补图中的连通分量数量可被高效地减少至 O(|X|^d)，从而通过消除距离参数实现对森林、二分图和CLP图等图类的多项式核化。

ABSTRACT

The Vertex Cover problem plays an essential role in the study of polynomial kernelization in parameterized complexity, i.e., the study of provable and efficient preprocessing for NP-hard problems. Motivated by the great variety of positive and negative results for kernelization for Vertex Cover subject to different parameters and graph classes, we seek to unify and generalize them using so-called blocking sets. A blocking set is a set of vertices such that no optimal vertex cover contains all vertices in the blocking set, and the study of minimal blocking sets played implicit and explicit roles in many existing results. We show that in the most-studied setting, parameterized by the size of a deletion set to a specified graph class ?, bounded minimal blocking set size is necessary but not sufficient to get a polynomial kernelization. Under mild technical assumptions, bounded minimal blocking set size is showed to allow an essentially tight efficient reduction in the number of connected components. We then determine the exact maximum size of minimal blocking sets for graphs of bounded elimination distance to any hereditary class ?, including the case of graphs of bounded treedepth. We get similar but not tight bounds for certain non-hereditary classes ?, including the class ?_{LP} of graphs where integral and fractional vertex cover size coincide. These bounds allow us to derive polynomial kernels for Vertex Cover parameterized by the size of a deletion set to graphs of bounded elimination distance to, e.g., forest, bipartite, or ?_{LP} graphs.

研究动机与目标

• 通过阻断集的概念，统一并推广现有针对不同图类的顶点覆盖问题多项式核化结果。
• 确定在可继承图类 C 上，消除距离有界的图中最小阻断集的最大精确大小，包括树深度（treedepth）和CLP图。
• 在以删除距离到图类 C 为参数时，建立多项式核化存在的充分必要条件（超越有界阻断集大小）。
• 开发高效的预处理方法，将模化器补图中的连通分量数量减少至 O(|X|^d)，从而实现核化。
• 通过 (CLP, d)-模化器将核化结果扩展至非可继承类（如 CLP，其中整数与分数顶点覆盖大小相等）。

提出的方法

• 将阻断集定义为不包含于任何最小顶点覆盖中的集合，重点关注包含关系下的最小阻断集。
• 引入到图类 C 的消除距离作为结构参数，推广树深度及其他基于层级的参数。
• 通过基于 NP ⊆ coNP/poly 的下界归约，证明在图类 C 中最小阻断集大小有界是多项式核化的必要条件。
• 设计高效算法，当 C 具有鲁棒性且阻断集可计算时，将 G−X 中的连通分量数量减少至 O(|X|^d)。
• 利用 Nemhauser-Trotter 定理和线性规划松弛技术分析半整数解，并推导出 OPT(G)−LP(G) 的界。
• 结合消除距离与阻断集界的结果，证明 (CLP, d)-模化器可产生顶点覆盖问题的随机化多项式核。

实验结果

研究问题

• RQ1 图类 C 中最小阻断集大小有界是否为以删除距离到 C 为参数的顶点覆盖问题多项式核化的充要条件？
• RQ2 在消除距离 d 到可继承图类 C 的图中，最小阻断集的最大精确大小是多少？
• RQ3 当以 (CLP, d)-模化器大小为参数时，能否实现顶点覆盖问题的多项式核化，其中 CLP 是整数与分数顶点覆盖大小相等的图类？
• RQ4 消除距离到 C 如何推广树深度及其他结构参数，以支持核化？
• RQ5 在 C 具有鲁棒性且阻断集可计算等温和假设下，能否使连通分量减少步骤既高效又紧致？

主要发现

• 图类 C 中最小阻断集大小有界是顶点覆盖问题以删除距离到 C 为参数时多项式核化的必要条件，但非充分条件。
• 在消除距离 d 到可继承类 C 的图中，最小阻断集的最大大小恰好为 d+1，且对所有此类图类均达到紧致界。
• 对于非可继承类（如 CLP），最大阻断集大小至多为 2d，虽弱化但仍具实用性。
• 以 (CLP, d)-模化器大小为参数的顶点覆盖问题存在随机化多项式核，涵盖并推广了先前结果。
• 当 C 具有鲁棒性且阻断集可计算时，G−X 中的连通分量数量可被多项式时间减少至 O(|X|^d)，与已知下界一致。
• 最优 (CLP, d)-模化器的大小至多为整数与分数顶点覆盖大小之差的两倍，且至多为 d-树深度模化器的大小。