[论文解读] Elimination via saturation

Mohamed Barakat, Markus Lange‐Hegermann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于饱和的多项式环消去算法，通过使用齐次化和理想饱和，避免了块消去序。研究表明，消去理想 $I \cap B$ 可以通过 $I^h \cap B$ 计算，其中 $I^h$ 是 $I$ 关于齐次化变量 $x_0$ 的齐次化，从而允许使用任意单项序（包括总度逆字典序）进行消去。

ABSTRACT

This short paper presents saturation-based algorithms for homogenization and elimination. This algorithm can compute elimination ideals by using syzygies and ideal membership test, hence it works with any} monomial order, in particular without the use of block-elimination orders. The used saturation is a translation of the geometric fact that the projective closure of an affine scheme has no components in the hyperplane at infinity.

研究动机与目标

• 回答饱和是否可以作为消去的计算工具，而非仅用于理想商或饱和计算的常规方向。
• 研究构造性消去理论是否为构造性模理论的特例，特别是非块序（如总度逆字典序）是否可用于消去。
• 提供一种计算消去理想 $I \cap B$ 的方法，而无需依赖块消去单项序。
• 建立射影闭包与饱和之间的几何-代数对应关系，将 $\overline{X}$ 在无穷远超平面无分量的事实翻译为代数饱和。
• 将该方法推广至多项式环上自由模的子模。

提出的方法

• 通过引入新变量 $x_0$ 对理想 $I \subset R = B[x_1,\dots,x_n]$ 进行齐次化，形成 $I^h \subset S = B[x_0,\dots,x_n]$。
• 将 $I^h$ 计算为饱和 $\langle g^h \mid g \in G \rangle : x_0^\infty$，其中 $G$ 是 $I$ 的生成集。
• 通过利用关系式计算的迭代理想商来实现饱和，当环具有有效的陪集代表元时此方法可行。
• 通过在 $I^h$ 的生成集中将 $x_0, \dots, x_n$ 置零，获得消去理想 $I \cap B$。
• 将该方法推广至 $R^\ell$ 的子模，通过将每个生成元齐次化使其成为 $S$-齐次，并对所得模进行饱和。
• 利用几何事实的代数翻译：仿射概形 $X$ 的射影闭包 $\overline{X}$ 在无穷远超平面无分量，对应于 $I^h \cap B = I \cap B$。

实验结果

研究问题

• RQ1 饱和是否可以作为消去的计算工具，而不仅限于理想商或饱和计算？
• RQ2 消去理论是否为构造性模理论的特例，从而允许使用非块单项序（如总度逆字典序）？
• RQ3 能否通过饱和计算理想齐次化，而无需使用块消去格罗布纳基？
• RQ4 等式 $I \cap B = I^h \cap B$ 是否在任意交换幺环 $B$ 上成立，而无需附加限制？
• RQ5 该方法能否从理想推广至有限秩自由模的子模？

主要发现

• 消去理想 $I \cap B$ 等于 $I^h \cap B$，其中 $I^h$ 是 $I$ 关于 $x_0$ 的齐次化，为该方法提供了几何-代数基础。
• 齐次化理想 $I^h$ 可计算为 $\langle g^h \mid g \in G \rangle : x_0^\infty$，其中 $G$ 是 $I$ 的生成集，从而可在不使用块消去序的情况下进行计算。
• 对于 $J = \langle g^h \mid g \in G \rangle$，饱和 $J : x_0^\infty$ 可通过利用关系式的迭代理想商计算，当 $B$ 具有有效的陪集代表元时此方法有效。
• 在 $I^h$ 的生成集中将 $x_0, \dots, x_n$ 置零，可得到 $I \cap B$ 的生成集，从而完成消去过程。
• 该方法可推广至 $R^\ell$ 的子模，其中齐次化按分量进行，饱和在 $S^\ell$ 上执行，消去通过置零实现。
• 该方法在任意交换幺环 $B$ 上均成立，且证明在完全一般性下给出，未限制于域或诺特环。