[论文解读] Ellipsitomic Associators

Damien Calaque, Martin Gonzalez|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 2

一句话总结

本文通过范畴方法引入椭圆型关联子，将大衛夫林的关联子理论及椭圆关联子理论扩展至包含 SL₂(ℤ) 的同余子群作用的范畴。利用环面上通用 KZB 连接的单值性，作者证明了椭圆型关联子的存在性，并将其与埃斯泰因森级数及扭曲椭圆多重 zeta 值联系起来，为这些对象在高亏格与算术背景下的范畴框架提供了新视角。

ABSTRACT

We develop a notion of ellipsitomic associators by means of operad theory. We take this opportunity to review the operadic point-of-view on Drinfeld associators and to provide such an operadic approach for elliptic associators too. We then show that ellipsitomic associators do exist, using the monodromy of the universal ellipsitomic KZB connection, that we introduced in a previous work. We finally relate the KZB ellipsitomic associator to certain Eisenstein series associated with congruence subgroups of $SL_2(\mathbb{Z})$, and to twisted elliptic multiple zeta values.

研究动机与目标

• 本文旨在将大衛夫林关联子的范畴框架扩展至椭圆与椭圆型情形。
• 旨在定义并研究椭圆型关联子，作为环面上带 Γ-装饰构型的广义 KZB 连接的解。
• 作者旨在将这些关联子与 SL₂(ℤ) 的同余子群相关的算术对象（如埃斯泰因森级数）联系起来。
• 进一步旨在建立椭圆型关联子与扭曲椭圆多重 zeta 值之间的联系，丰富这些不变量的算术结构。
• 本工作系统地处理了椭圆曲线及其模空间上构型空间背景下关联子的范畴理论。

提出的方法

• 作者运用范畴理论，形式化了带括号辫子、弦图及其椭圆与椭圆型推广的结构。
• 他们将带括号椭圆型辫子的 PaB-模定义为编码环面上 KZB 连接单值数据的普遍对象。
• 该构造依赖于带 Γ-装饰点的环面构型空间的 Fulton-MacPherson 紧化。
• 关键技术工具是通用椭圆型 KZB 连接的单值性，其通过范畴双 torsor 结构产生明确定义的关联子。
• 作者采用普鲁尼普otent 完备化与分次李代数（例如 tΓ₁,ₙ(k)）来分析关联子的代数结构。
• 他们通过显式级数展开，将所得关联子与埃斯泰因森-赫尔维茨级数及扭曲椭圆多重 zeta 值联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆型关联子是否作为环面上带 Γ-装饰构型的通用 KZB 型连接的解而存在？
• RQ2 椭圆型关联子如何与 SL₂(ℤ) 的同余子群相关的埃斯泰因森级数相联系？
• RQ3 大衛夫林与椭圆关联子的范畴结构能否扩展至包含 SL₂(ℤ) 的有限指数子群的作用？
• RQ4 通用椭圆型 KZB 连接的单值性的代数与几何意义为何？
• RQ5 椭圆型关联子如何与扭曲椭圆多重 zeta 值相联系？

主要发现

• 通过通用椭圆型 KZB 连接的单值性，确立了椭圆型关联子的存在性，其在范畴框架下提供了一个典范解。
• A-型与 B-型椭圆型 KZB 关联子明确与埃斯泰因森-赫尔维茨级数 Gs,γ(τ) 相关联，后者是 SL₂(ℤ) 同余子群的模形式。
• 本文构建了椭圆型关联子的新范畴双 torsor 结构，将格罗滕迪克-泰希缪勒理论推广至椭圆型情形。
• 证明了椭圆型关联子控制了带 Γ-结构的标记椭圆曲线模空间上通用 KZB 连接的单值性。
• 通过其级数展开，关联子与扭曲椭圆多重 zeta 值相联系，扩展了已知的 KZB 关联子与椭圆 MZV 之间的关系。
• 范畴框架统一了关联子、弦图与模形式在高亏格与算术背景下的研究。