[论文解读] Elliptic and parabolic equations with measurable coefficients in weighted Sobolev spaces

Hongjie Dong, Doyoon Kim|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文建立了在首项系数关于一个空间变量和时间可测、其余变量具有小BMO半范数的二阶椭圆与抛物型方程的存在性、唯一性及加权Sobolev范数估计。通过允许低阶项在边界附近爆破并扩大数据空间，该研究将可解性理论推广至更广泛的系数类，实现了在一般权函数下的加权Sobolev空间中最优正则性结果。

ABSTRACT

We consider both divergence and non-divergence parabolic equations on a half space in weighted Sobolev spaces. All the leading coefficients are assumed to be only measurable in the time and one spatial variable except one coefficient, which is assumed to be only measurable either in the time or the spatial variable. As functions of the other variables the coefficients have small bounded mean oscillation (BMO) semi-norms. The lower-order coefficients are allowed to blow up near the boundary with a certain optimal growth condition. As a corollary, we also obtain the corresponding results for elliptic equations.

研究动机与目标

• 将椭圆与抛物型方程在加权Sobolev空间中的可解性理论扩展至在某一空间变量和时间上可测的首项系数，且在其余变量中具有小BMO半范数的系数类。
• 在最优增长条件下允许低阶系数在边界附近爆破，而非要求其在无穷远处衰减。
• 将散度形式方程中数据空间（右侧项）的范围扩大至先前结果之外，包括当 $ \lambda > 0 $ 时的 $ f \in \mathbb{L}_{p,\theta} $。
• 为非散度形式与散度形式方程在加权Sobolev空间 $ H_{p,\theta}^\gamma $ 与 $ \mathbb{H}_{p,\theta}^\gamma $ 中建立先验估计与唯一可解性。

提出的方法

• 使用由Krylov引入的加权Sobolev空间 $ H_{p,\theta}^\gamma $ 与 $ \mathbb{H}_{p,\theta}^\gamma $，其测度为 $ x_1^{\theta - d} dx $，以处理边界行为与奇异系数。
• 通过局部化与截断函数 $ \eta_k $，结合极大函数估计与平移不变性，对连续性方法与先验估计进行适应。
• 应用关键命题（命题6.7），通过控制振荡的大小条件，以在加权 $ L_p $-范数中控制梯度项与低阶项。
• 将右侧项分解为 $ D_i g_i + f $，其中 $ f \in \mathbb{L}_{p,\theta} $，并利用嵌入关系 $ M^{-1}\mathbb{H}_{p,\theta}^{-1} \subset \mathbb{L}_{p,\theta} $ 处理由更大函数空间中的数据。
• 引入参数 $ \varepsilon $ 以通过 $ \varepsilon^{1/\beta'q} $ 的小性来控制梯度项大小，确保先验估计的收敛性。
• 通过选择足够小的 $ \varepsilon_2 $ 与 $ \varepsilon $，使得 $ N_0\varepsilon_2 \leq 1/3 $ 且 $ N_1\varepsilon^{1/\beta'q} < 1/3 $，最终建立估计式，从而获得所需有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将抛物型与椭圆型方程的可解性理论扩展至在某一空间变量与时间上可测的首项系数，且在其余变量中仅具有小BMO半范数？
• RQ2 在保持加权Sobolev空间中唯一可解性的前提下，允许低阶系数在边界附近爆破的最优增长条件是什么？
• RQ3 能否将散度形式方程中的数据空间从 $ M^{-1}\mathbb{H}_{p,\theta}^{-1} $ 扩大至包含 $ \mathbb{L}_{p,\theta} $（当 $ \lambda > 0 $ 时），同时仍保持可解性？
• RQ4 是否可能在不强制要求低阶系数在无穷远处衰减的条件下，实现加权Sobolev空间中的先验估计与唯一可解性？

主要发现

• 本文证明了在加权Sobolev空间 $ \mathbb{H}_{p,\theta}^\gamma $ 与 $ H_{p,\theta}^\gamma $ 中，对非散度形式与散度形式方程，其首项系数在 $ (t,x_1) $ 上可测（除 $ a^{11} $ 外，其在 $ t $ 或 $ x_1 $ 上可测）时的先验估计。
• 首项系数 $ a^{ij} $ 允许在 $ x_1 $ 与 $ t $ 上可测，且在其余变量中具有小BMO半范数，从而推广了先前要求连续性或更高正则性的结果。
• 低阶系数 $ b^i, \hat{b}^i, c $ 允许在边界 $ x_1 = 0 $ 附近爆破，且具有最优增长，无需在无穷远处趋于零。
• 数据空间被扩大：当 $ \lambda > 0 $ 时，允许 $ f \in \mathbb{L}_{p,\theta} $，其为比 $ M^{-1}\mathbb{H}_{p,\theta}^{-1} $ 更大的空间，优于先前结果。
• 通过 $ \varepsilon $ 与 $ \varepsilon_2 $ 的小性，建立了先验估计 $ \sqrt{\lambda}\|u\|_{p,\theta} + \|M^{-1}u\|_{p,\theta} + \|Du\|_{p,\theta} \leq N_0(\|g\|_{p,\theta} + \lambda^{-1/2}\|f\|_{p,\theta}) + \text{小量项} $，从而导出唯一可解性。
• 结果被推广至椭圆方程作为推论，证实了在椭圆情形下，相同的系数假设与可解性框架依然成立。