[论文解读] Elliptic Calogero-Moser system, crossed and folded instantons, and bilinear identities

A. Grekov, Nikita Nekrasov|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2023

Algebraic structures and combinatorial modelsMathematics被引用 3

一句话总结

本文从折叠瞬子划分函数构造了仿射 $Q$ 和 $\tilde{Q}$-函数，表明它们求解了 $N$-体椭圆 Calogero-Moser 系统的量子谱曲线（量子 Krichever 曲线）。$Q$ 和 $\tilde{Q}$-函数满足量子 Wronskian 方程的椭圆类比形式，并与穿孔环面上的对品（opers）及 Taub-Nut 空间上的交叉瞬子相关联。

ABSTRACT

Affine analogues of the Q-functions are constructed using folded instantons partition functions. They are shown to be the solutions of the quantum spectral curve of the N-body elliptic Calogero-Moser (eCM) system, the quantum Krichever curve. They also solve the elliptic analogue of the quantum Wronskian equation. In the companion paper we present the quantum analogue of Krichever's Lax operator for eCM. A connection to crossed instantons on Taub-Nut spaces, and opers on a punctured torus is pointed out.

研究动机与目标

• 建立折叠瞬子划分函数与椭圆 Calogero-Moser 系统的量子谱曲线之间的联系。
• 利用瞬子理论定义仿射 $Q$ 和 $\tilde{Q}$-函数，并证明它们求解量子 Krichever 曲线。
• 证明这些 $Q$ 和 $\tilde{Q}$-函数满足量子 Wronskian 方程的椭圆类比形式。
• 通过穿孔环面上的对品及 Taub-Nut 空间上的交叉瞬子，探索这些函数的几何与物理意义。
• 在极限情形下恢复周期性 Toda 链，并确认与已知的 T-Q 关系及 Wronskian 关系的一致性。

提出的方法

• 利用折叠瞬子划分函数，将 $Q$ 和 $\tilde{Q}$-函数构造为 $Q$-函数的仿射类比。
• 将椭圆 Calogero-Moser 系统的量子谱曲线识别为量子 Krichever 曲线，其中 $Q$ 和 $\tilde{Q}$ 为其解。
• 通过变量替换 $\lambda = x - \nu \frac{\theta'(u|\tau)}{\theta(u|\tau)}$，将 Lax 算子谱曲线转化为具有一阶极点的形式。
• 将谱函数 $\mathcal{R}(x,u)$ 乘以 $\theta(u|\tau)$，并定义傅里叶系数 $\tilde{\mathfrak{R}}_l(x)$ 以提取量子曲线。
• 应用 $\hbar \to 0$ 极限，恢复经典谱曲线，并通过 $[\hat{u}, \hat{x}] = \hbar$ 将量子曲线与非交换代数联系起来。
• 在 Toda 极限（$\mathfrak{q} \to 0$，$n \to \infty$）下，表明结果与已知的 Toda 系统结果一致，包括 T-Q 方程与 Wronskian 关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用折叠瞬子划分函数，为椭圆 Calogero-Moser 系统构造仿射 $Q$ 和 $\tilde{Q}$-函数？
• RQ2 这些 $Q$ 和 $\tilde{Q}$-函数是否满足量子 Wronskian 方程的椭圆类比形式？
• RQ3 从穿孔环面上的对品角度，量子谱曲线的几何意义是什么？
• RQ4 在极限情形下，$Q$ 和 $\tilde{Q}$-函数如何行为以恢复周期性 Toda 链？
• RQ5 在 Toda 极限下，是否能一致地恢复 T-Q 与 Wronskian 关系？

主要发现

• 从折叠瞬子划分函数构造的 $Q$ 和 $\tilde{Q}$-函数求解了 $N$-体椭圆 Calogero-Moser 系统的量子谱曲线（量子 Krichever 曲线）。
• 这些 $Q$ 和 $\tilde{Q}$-函数满足量子 Wronskian 方程的椭圆类比形式，确认了其在量子可积结构中的作用。
• 谱曲线 $\mathcal{R}(x,u) = 0$ 被证明是非代数的，但在 $\left(U_1, U_2\right)$ 坐标下是解析的，其中 $U_1 = \exp(x/\nu)$，$U_2 = \exp(2\pi i u + \tau x / \nu)$。
• 在 Toda 极限（$\mathfrak{q} \to 0$，$n \to \infty$）下，$Q$-函数满足 T-Q 方程 $Q(\sf{w}+\hbar) + \Lambda^{2N} Q(\sf{w}-\hbar) = \mathcal{Y}(\sf{w}) Q(\sf{w})$，与已知结果一致。
• 在 Toda 极限下，Wronskian 关系 $\tilde{Q}(\sf{w})Q(\sf{w}+\hbar) - Q(\sf{w})\tilde{Q}(\sf{w}+\hbar) = \Lambda^{2N\sf{w}/\hbar}$ 被恢复，确认了与量子可积结构的一致性。
• $\hbar$-平移的 $\mathcal{X}$ 和 $\mathcal{Z}$ 函数在 Toda 极限下以 $Q$-函数为主渐近行为，满足 $\mathcal{X}(\sf{w}) \sim \tilde{Q}(\sf{w}-\hbar)$ 与 $\mathcal{Z}(\sf{w}) \sim \tilde{Q}(\sf{w}-\hbar)$，仅相差指数因子。