[论文解读] Elliptic curves and class field theory

Barry Mazur, Karl Rubin|ArXiv.org|Apr 16, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 13

一句话总结

本文通过正交 $Λ$-模将虚二次域上的椭圆曲线与 Iwasawa 理论及类域论联系起来，提出此类模组织了 $E$ 在 $p$ 处的反循环算术。关键结果是：若存在合适的正交 $Λ$-模，则可推出多个核心猜想，包括两变量主猜想与反循环主猜想、$Λ$-adic Gross-Zagier 猜想以及高猜想。

ABSTRACT

Suppose $E$ is an elliptic curve defined over $\Q$. At the 1983 ICM the first author formulated some conjectures that propose a close relationship between the explicit class field theory construction of certain abelian extensions of imaginary quadratic fields and an explicit construction that (conjecturally) produces almost all of the rational points on $E$ over those fields. Those conjectures are to a large extent settled by recent work of Vatsal and of Cornut, building on work of Kolyvagin and others. In this paper we describe a collection of interrelated conjectures still open regarding the variation of Mordell-Weil groups of $E$ over abelian extensions of imaginary quadratic fields, and suggest a possible algebraic framework to organize them.

研究动机与目标

• 将虚二次域上椭圆曲线的算术与 Iwasawa 理论及类域论统一起来。
• 通过正交 $Λ$-模构建一个连贯的代数框架，以组织关于 Mordell-Weil 群变化的开放猜想。
• 在反循环设定下，建立解析 $p$-进 $L$-函数、Selmer 群与通用范数模之间的桥梁。
• 阐明 $p$-进高配对与 Heegner 点及 Iwasawa 模上下文中的导出配对之间的关系。

提出的方法

• 在 Iwasawa 代数 $\mathbf{Z}_p[[\mathbf{\Gamma}]]\otimes\mathbf{Q}_p$ 上引入一个正交 $Λ$-模 $V$，其中 $\mathbf{\Gamma} \cong \mathbf{Z}_p^2$。
• 定义 $V$ 以组织 $(E,K,p)$ 的反循环算术，满足三个条件：判别式等于两变量 $p$-进 $L$-函数，同构于对偶 Selmer 群，且与 Heegner 点及高配对相容。
• 利用同构 $\varphi_V: M \xrightarrow{\sim} \mathcal{S}_p(E/\mathbf{K}_\infty)$ 将模 $M$ 与 $E$ 在 $\mathbf{Z}_p^2$-扩张上的 $p$-主 Selmer 群联系起来。
• 应用通用范数模 $\mathcal{U}$ 及其与 $E(F)\otimes\mathbf{Q}_p$ 的关系，通过 $V(F) \cong \mathcal{U}(F)$ 对 $K$ 的有限扩张 $F$ 成立。
• 依赖于 $F$-导出配对 $V(F)\otimes V(F)^{(\tau)} \to \Gamma_{\mathrm{cycl}}\otimes\Lambda_{\mathrm{anti}}$ 的满射性，将高猜想与 $Λ$-adic Gross-Zagier 猜想联系起来。
• 利用特征理想 $\mathrm{char}_{\Lambda_{\mathrm{anti}}}(M\otimes\Lambda_{\mathrm{anti}})_{\mathrm{tors}}$ 及其与理想 $J$ 的关系，推导出反循环主猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定假设下，是否存在一个正交 $\u039b$-模 $V$，以组织 $(E,K,p)$ 的反循环算术？
• RQ2 对于 $K$ 的有限扩张 $F$，$E(F)\otimes\mathbf{Q}_p$ 上的 $p$-进高配对与 $V(F)$ 上的 $F$-导出配对之间有何关系？
• RQ3 若此类模 $V$ 存在，则其是否蕴含 $E$ 在 $p$ 处的两变量主猜想与反循环主猜想？
• RQ4 若 $V$ 存在且 $V(K_\infty^{\mathrm{anti}})$ 上的配对是满射，则能否从 $V$ 推出 $\u039b$-adic Gross-Zagier 猜想与高猜想？
• RQ5 何种精确的代数结构能统一反循环 Iwasawa 理论中 $E$ 的 Selmer 群、$L$-函数与通用范数？

主要发现

• 存在一个组织反循环算术的正交 $\u039b$-模 $V$，意味着两变量主猜想成立，因为 $\mathrm{disc}(V) = \mathbf{L}$ 生成 $\mathrm{char}_{\u039b}(M)$。
• 通过同构 $\varphi_V$ 与 Selmer 群的结构，两变量主猜想可推出循环主猜想。
• 若诱导配对 $V(K_\infty^{\mathrm{anti}})\otimes V(K_\infty^{\mathrm{anti}})^{(\tau)} \to \Gamma_{\mathrm{cycl}}\otimes\Lambda_{\mathrm{anti}}$ 是满射，则高猜想成立，这与猜想 8 等价。
• $\u039b$-adic Gross-Zagier 猜想与反循环主猜想由配对的满射性及 $H$ 与 $\mathcal{H}$ 的相容性所蕴含，如通过特征理想与模理论所示。
• $p$-进 $L$-函数 $\mathbf{L}$ 在 $\mathbf{I}_{K_\infty^{\mathrm{anti}}}/\mathbf{I}_{K_\infty^{\mathrm{anti}}}^2$ 中的像生成 $\mathrm{char}(B)^2 \cdot \mathbf{I}_{K_\infty^{\mathrm{anti}}}/\mathbf{I}_{K_\infty^{\mathrm{anti}}}^2$，将解析与算术不变量联系起来。
• 对所有 $\mathbf{K}_\infty$ 中 $K$ 的有限扩张 $F$，同构 $V(F) \cong \mathcal{U}(F)$ 实现了通用范数模作为 $E(F)\otimes\mathbf{Q}_p$ 的 $p$-进实现。