[论文解读] Elliptic curves and Hilbert's tenth problem for algebraic function fields over real and p-adic fields

Laurent Moret-Bailly|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文通过使用在有理函数域上 Mordell-Weil 秩为一的扭曲椭圆曲线，扩展 Denef 的方法，建立了实数域和 p 进域上函数域的丢番图不可判定性。证明了希尔伯特第十问题在这些设定下的半局部环和函数域上是不可判定的，利用几何构造和赋值理论论证，在相关环中定义了一个丢番图复制的 Z。

ABSTRACT

Let k be a field of characteristic zero, V a smooth, positive-dimensional, quasiprojective variety over k, and D a nonempty effective divisor on V. Let K be the function field of V, and A the semilocal ring of D in K. In this paper, we prove the Diophantine undecidability of: (1) A, in all cases; (2) K, when k is (formally) real and V has a real point; (3) K, when k is a subfield of a p-adic field, for some odd prime p. To achieve this, we use Denef's method: from an elliptic curve E over Q, without complex multiplication, one constructs a quadratic twist E' of E over Q(t), which has Mordell-Weil rank one. Most of the paper is devoted to proving (using a theorem of R. Noot) that one can choose f in K, vanishing at D, such that the group E'(K) deduced from the field extension K/Q(f)=Q(t) is equal to E'(Q(t)). Then we mimic the arguments of Denef (for the real case) and of Kim and Roush (for the p-adic case).

研究动机与目标

• 建立实数域和 p 进域上函数域的正存在性理论的不可判定性，将已知结果扩展到更广泛的域类。
• 证明在实或 p 进域上函数域中的整数环是丢番图不可定义的，意味着不存在算法可判定丢番图方程的可解性。
• 将 Denef 的方法——最初用于实函数域——扩展至 p 进设定，利用在有理函数域上秩为一的椭圆曲线的二次扭曲。
• 通过赋值理论和 p 进域上二次型的各向同性，构造函数域中一个与 Z 同构的丢番图子集。
• 证明在光滑拟射影代数簇上某除子处的半局部环的正存在性理论也是不可判定的。

提出的方法

• 在 Q(t) 上构造一个有理椭圆曲线 E 的二次扭曲 Ẽ，使其在有理函数域上具有 Mordell-Weil 秩为一，通过在除子 Q 处为零的有理函数 f 确保扭曲在函数域 K 上有定义。
• 利用 R. Noot 的定理，确保 Mordell-Weil 群 Ẽ(K) 同构于 Ẽ(Q(t))，从而在函数域上保持秩为一的结构。
• 通过显式多项式方程和赋值条件，定义一个 K² 中的丢番图子集 Λ，使其具有与 Z 同构的环结构。
• 应用赋值理论技术：基于 v₀ 和 v∞ 赋值，定义 Q(f) 中的子集 Y₀, Y₁，并证明 Y₁ 相对于 Y 为丢番图，利用二次型的各向同性。
• 利用 K 上的二次型 φ₀ 和 φ₁ 的各向同性（依赖于参数 c₃, c₅ ∈ C，其中 C 是在 Qₚ 中稠密的丢番图子集），通过丢番图条件定义环的乘法。
• 利用 Kim 和 Roush 关于各向同性和牛顿多边形条件的结果，确保对 r ∈ Y₁，两个形式均为各向同性，而对 r ∈ Y₀，至少一个为非各向同性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Denef 用于证明实函数域上不可判定性的方法能否扩展至 p 进函数域？
• RQ2 在函数域上，扭曲椭圆曲线的 Mordell-Weil 群在何种条件下同构于其基有理函数域上的 Mordell-Weil 群？
• RQ3 是否存在一个实或 p 进域上函数域的丢番图子集，其环结构同构于 Z？
• RQ4 该丢番图子集的环结构能否仅用环语言中的存在性公式来定义？
• RQ5 赋值条件和二次型的各向同性在非代数闭域上函数域的算术定义中起什么作用？

主要发现

• 在特征为零的域 k 上光滑拟射影代数簇 V 的非空除子 Q 处的半局部环 A 的正存在性理论是不可判定的。
• 对于在形式实域 k 上的曲线的函数域 K，其正存在性理论是不可判定的，将 Denef 的结果扩展至非有理函数域。
• 当 k 是某个奇素数 p 的 Qₚ 的有限扩张的子域时，K 的正存在性理论是不可判定的，完成了 p 进情形的证明。
• 构造了一个 K² 中的丢番图子集 Λ，其具有与 Z 同构的环结构，利用扭曲椭圆曲线和赋值理论条件。
• Λ 中的乘法是丢番图的，其依赖于 K 上二次型 φ₀ 和 φ₁ 的各向同性，该各向同性通过牛顿多边形条件和参数在 p 进域中的稠密性得以保证。
• 该构造是有效的，即所需丢番图集合可用有理函数和赋值条件显式定义，尽管在所有情况下均未保证完全有效性。