[论文解读] Elliptic curves with 3-adic Galois representation surjective mod 3 but not mod 9

Noam D. Elkies|ArXiv.org|Dec 23, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 25

一句话总结

本文在 $\mathbb{Q}$ 上构造了一个亏格为 0 的模曲线 $\mathscr{X}_9$，其参数化了那些 3-adic Galois 表示模 3 是满射但模 9 不是满射的 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线。利用一个次数为 27 的有理函数 $f(x)$，作者证明了此类曲线有无穷多条，包括 $Y^2 = X^3 - 27X - 42$（导子为 $1944 = 2^3 3^5$）等显式例子，并证明了由此构造产生的所有非零整数 $j$-不变量均被完全枚举。

ABSTRACT

Let E be an elliptic curve over Q, and rho_l: Gal(Q) --> GL_2(Z_l) its l-adic Galois representation. Serre observed that for l>3 there is no proper closed subgroup of SL_2(Z_l) that maps surjectively onto SL_2(Z/lZ), and concluded that if rho_l is surjective mod l then it is surjective onto GL_2(Z_l). We show that this no longer holds for l=3 by describing a modular curve X of genus 0 parametrizing elliptic curves for which rho_3 is not surjective mod 9 but generically surjective mod 3. The curve X is defined over Q, and the modular cover X --> X(1) has degree 27 so X is rational. We exhibit an explicit rational function of degree 27 that realizes this cover, and use it to exhibit several elliptic curves with nonzero j-invariant that satisfy this condition on rho_3, of which the simplest are the curves Y^2 = X^3 - 27X - 42 and Y^2 + Y = X^3 - 135X - 604 of conductors 1944 = 2^3 3^5 and 6075 = 3^5 5^2 respectively.

研究动机与目标

• 解决 Serre 关于 3-adic Galois 表示是否可能模 3 满射但模 9 不满射的隐含问题。
• 在 $\mathbb{Q}$ 上构造一个模曲线 $\mathscr{X}_9$，以参数化此类椭圆曲线。
• 显式计算一个次数为 27 的有理函数 $f(x)$，以实现覆盖映射 $\mathscr{X}_9 \to X(1)$。
• 确定所有非零整数 $j$-不变量，其对应的椭圆曲线满足 $\rho_3$ 模 3 满射但模 9 不满射。
• 提供具有最小导子的此类椭圆曲线的显式例子。

提出的方法

• 构造一个子群 $G \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})$，使其在模 3 下的约化同构于 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$，并证明其在 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}_3)$ 中的原像为一个真闭子群。
• 定义 $\mathscr{X}_9 = X(9)/G$，即模曲线 $X(9)$ 的商，利用覆盖的奇数次数 27 和 Riemann-Hurwitz 公式，证明其在 $\mathbb{Q}$ 上是有理的。
• 使用 Siegel 函数的乘积构造 $X(9)$ 上的模单位，然后在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上应用分式线性变换，将其下降为定义在 $\mathbb{Q}$ 上的有理函数 $x$。
• 将 $\mathscr{X}_9$ 表示为 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 中的双次数 $(3,4)$ 曲线，通过 cusp 形式的 $q$-展开计算全纯微分的基。
• 通过积分 CM 模形式得到有理函数 $f(x)$，该函数将 $X(1)$ 上的 $j$-不变量拉回到 $\mathscr{X}_9$，并验证其次数为 27。
• 利用 $f(x)$ 的分子与分母的结式，证明 $f(x) \in \mathbb{Z}$ 仅当分母为 3 的幂时成立，从而进行 Thue 方程分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线，其 3-adic Galois 表示模 3 满射但模 9 不满射？
• RQ2 参数化此类曲线的模曲线 $\mathscr{X}_9$ 是否在 $\mathbb{Q}$ 上是有理的？
• RQ3 是否存在一个显式有理函数 $f(x)$，其次数为 27，用于参数化这些曲线的 $j$-不变量？
• RQ4 哪些 $\mathscr{X}_9$ 上的有理点产生整数 $j$-不变量，它们是什么？
• RQ5 是否存在有限多个此类整数 $j$-不变量，且能否完全分类？

主要发现

• 模曲线 $\mathscr{X}_9$ 在 $\mathbb{Q}$ 上是有理的，具有一个次数为 27 的覆盖映射 $\mathscr{X}_9 \to X(1)$，并存在一个次数为 27 的有理函数 $f(x)$，用于参数化所需椭圆曲线的 $j$-不变量。
• 对于所有 $x \in \mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ 除了两个满足 $f(x) = 0$ 的点，具有 $j$-不变量 $f(x)$ 的椭圆曲线满足 $\rho_3$ 模 3 满射但模 9 不满射。
• 非零整数值 $f(x)$ 仅出现在 $x = 1/0, -2, 0, -1/2, 2, -3/2, -1/3$ 处，对应的 $j$-不变量为 $4374, 419904, -44789760, 15786448344, 24992518538304, -92515041526500, -70043919611288518656$。
• 所构造曲线中导子最小者为 $1944 = 2^3 3^5$，由 $Y^2 = X^3 - 27X - 42$ 实现，另一条导子为 $6075 = 3^5 5^2$ 的曲线由 $Y^2 + Y = X^3 - 135X - 604$ 给出。
• 所有由 $f(x)$ 产生的非零整数 $j$-不变量均被完全分类：恰好存在七个这样的值，通过求解 Thue 方程 $m^3 - 3mn^2 - n^3 = \pm 1$ 和 $\pm 3$ 得到，其解对应于列出的 $x$-值。
• 该构造证实了 Serre 开放图像定理在 $l=3$ 时的反例是可实现的，并提供了此类 $j$-不变量的完整且有效分类。