[论文解读] Elliptic equations involving general subcritical source nonlinearity and measures

Huyuan Chen, Patricio Felmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用 13

一句话总结

该论文通过在Marcinkiewicz空间中采用一种新颖的不动点方法，建立了涉及一般次临界非线性项和测度数据的分数阶椭圆方程弱非负解的存在性。它在非线性项满足积分次临界条件且测度参数较小的假设下证明了解的存在性，将先前仅限于凸性或单调性非线性项的结果推广至更一般的情形。

ABSTRACT

In this article, we study the existence of positive solutions to elliptic equation (E1) $$(-Δ)^αu=g(u)+σν\quad{ m in}\quad Ω,$$ subject to the condition (E2) $$u=\varrhoμ\quad { m on}\quad \partialΩ \ { m if}\ α=1\qquad { m or\ \ in}\ \ Ω^c \ \ { m if}\ α\in(0,1),$$ where $σ,\varrho\ge0$, $Ω$ is an open bounded $C^2$ domain in $\mathbb{R}^N$, $(-Δ)^α$ denotes the fractional Laplacian with $α\in(0,1)$ or Laplacian operator if $α=1$, $ν,μ$ are suitable Radon measures and $g:\mathbb{R}_+\mapsto\mathbb{R}_+$ is a continuous function. We introduce an approach to obtain weak solutions for problem (E1)-(E2) when $g$ is integral subcritical and $σ,\varrho\ge0$ small enough.

研究动机与目标

• 建立带有一般次临界源非线性项和测度数据的半线性分数阶椭圆方程弱非负解的存在性。
• 将现有解的存在性结果推广至非线性项不再受限于凸性或单调性的场合。
• 在Marcinkiewicz空间中发展一种新的不动点框架，以处理一般、非凸、非递减的非线性项。
• 以非线性项的积分次临界条件和测度参数的大小为依据，刻画解存在的临界阈值。

提出的方法

• 在Marcinkiewicz空间中引入一种新的不动点论证，以处理一般次临界非线性项，而无需假设其凸性或单调性。
• 利用Green算子 $ \mathbb{G}_{\alpha} $ 和Poisson核表示，通过测度数据和非线性项刻画解。
• 在加权Marcinkiewicz空间 $ M^{p^*_{\beta}}(\Omega, \rho^{\beta}dx) $ 中应用Schauder不动点定理，以保证紧致性和收敛性。
• 利用积分次临界条件 $ \int_1^\infty g(s)s^{-1-p^*_{\beta}}ds < \infty $ 建立解序列的统一有界性，其中 $ p^*_{\beta} = \frac{N+\beta}{N-2\alpha+\beta} $。
• 通过光滑函数逼近测度并取极限，以在分布意义下定义弱解。
• 通过对偶性定义弱解：对测试函数 $ \xi \in \mathbb{X}_\alpha $，有 $ \int_\Omega u(-\Delta)^\alpha \xi \, dx = \int_\Omega g(u)\xi \, dx + \sigma \int_\Omega \xi \, d\nu $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性项 $ g $ 和测度数据 $ \sigma\nu $ 满足何种条件时，分数阶椭圆方程 $ (-\Delta)^\alpha u = g(u) + \sigma\nu $ 在 $ \Omega $ 中存在弱解？
• RQ2 是否可以在不假设非线性项具有凸性或单调性的情况下，建立一般次临界非线性项解的存在性？
• RQ3 积分次临界条件 $ \int_1^\infty g(s)s^{-1-p^*_{\beta}}ds < \infty $ 在保证解存在性方面起到什么作用？
• RQ4 当 $ g(s) \leq c_3 s^{p_*} + \epsilon $ 时，参数 $ \sigma $ 和 $ \epsilon $ 需多小才能保证解的存在性？
• RQ5 当非线性项不一定是凸或递增时，是否能通过Marcinkiewicz空间中的不动点论证构造解？

主要发现

• 当 $ g(s) \leq c_2 s^{p_0} + \epsilon $ 且 $ p_0 \in (0,1] $ 时，对任意 $ \sigma > 0 $、$ \epsilon > 0 $，以及当 $ p_0 = 1 $ 时 $ c_2 $ 足够小，存在弱非负解，且满足 $ u\nu \geq \sigma \mathbb{G}_\alpha[\nu] $。
• 当 $ g(s) \leq c_3 s^{p_*} + \epsilon $ 在 $[0,1]$ 上成立，且 $ \int_1^\infty g(s)s^{-1-p^*_{\beta}}ds < \infty $ 时，存在 $ \sigma_0, \epsilon_0 > 0 $，使得当 $ \sigma \in [0, \sigma_0) $ 且 $ \epsilon \in (0, \epsilon_0) $ 时解存在。
• 解满足 $ u\nu \geq \sigma \mathbb{G}_\alpha[\nu] $，从而在Green势的意义下提供了下界。
• 该存在性结果对 $ \alpha \in (0,1] $、有界 $ C^2 $ 区域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^N $，以及 $ \nu \in \mathfrak{M}_+(\Omega, \rho^\beta) $ 且 $ \beta \in [0, \alpha] $ 成立。
• 该方法避免了对 $ g $ 的凸性与单调性假设，转而依赖于积分次临界条件和Marcinkiewicz空间估计。
• 解通过在 $ M^{p^*_{\beta}}(\Omega, \rho^\beta dx) $ 中的不动点论证构造，且其一致有界性与逼近参数无关。