[论文解读] Elliptic Genera of Singular Varieties

Lev Borisov, Anatoly Libgober|ArXiv.org|Jul 17, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文引入了两个新不变量——奇异代数曲线的椭圆亏格与群作用在流形上的轨道椭圆亏格，并在归一化因子下证明了它们的等价性。通过 bordism 理论与奇点的解析化，本文为对称积上的 Dijkgraaf-Moore-Verlinde-Verlinde 公式提供了数学基础，确立了轨道椭圆亏格的生成函数。

ABSTRACT

Orbifold elliptic genus and elliptic genus of singular varieties are introduced and relation between them is studied. Elliptic genus of singular varieties is given in terms of a resolution of singularities and extends the elliptic genus of Calabi-Yau hypersurfaces in Fano Gorenstein toric varieties introduced earlier. Orbifold elliptic genus is given in terms of the fixed point sets of the action. We show that the generating function for this orbifold elliptic genus $\sum Ell_{orb}(X^n,Σ_n)p^n$ for symmetric groups $Σ_n$ acting on $n$-fold products coincides with the one proposed by Dijkgraaf, Moore, Verlinde and Verlinde. Two notions of elliptic genera are conjectured to coincide.

研究动机与目标

• 为复流形上有限群作用的轨道椭圆亏格提供一个数学上严格的定义。
• 通过奇点的解析化与典范除子，为 Q-Gorenstein 代数曲线引入奇异椭圆亏格。
• 建立商空间上轨道椭圆亏格与奇异椭圆亏格之间的猜想等价性。
• 利用 bordism 理论，为轨道椭圆亏格的生成函数提供一个拓扑证明。
• 将椭圆亏格的概念推广至奇异与轨道情形，推广了 toric 流形中 Calabi-Yau 超曲面的情形。

提出的方法

• 通过交换群元素的固定点集与法丛的陈类，定义轨道椭圆亏格。
• 通过奇点的解析化构造奇异椭圆亏格，将其表示为光滑模型上的积分，并加入由典范除子 $K_Y - \pi^*K_Z$ 引起的校正项。
• 利用 [1] 中的结果，将双有理映射分解为光滑的爆破与反爆破，以分析奇点与解析化。
• 应用 bordism 理论，证明轨道椭圆亏格在 $G$-零 bordism 流形上消失，从而证明其在 $G$-bordism 下的不变性。
• 利用 Bierstone-Milman 解析化的普遍性，构造商奇点的等变解析化。
• 通过 bordism 理论与陈类的计算，证明对称积的轨道椭圆亏格的生成函数与 Dijkgraaf-Moore-Verlinde 公式完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为复流形上有限群作用的轨道椭圆亏格提供数学定义？
• RQ2 椭圆亏格在奇异代数曲线上的正确推广是什么？它与解析化数据有何关系？
• RQ3 对称积 $X^n / \Sigma_n$ 的轨道椭圆亏格是否与 Dijkgraaf 等人提出的生成函数一致？
• RQ4 在何种条件下，商空间上的轨道椭圆亏格与奇异椭圆亏格相等？
• RQ5 是否可利用 bordism 理论证明轨道椭圆亏格的生成函数恒等式？

主要发现

• 轨道椭圆亏格被定义为群元素共轭类的和，其贡献来自固定点集及其法丛。
• 奇异椭圆亏格通过解析化 $\pi: Y \to Z$ 定义，校正项 $\alpha_k$ 来自相对典范除子 $K_Y - \pi^*K_Z$。
• 生成函数 $\sum_{n \geq 0} p^n \cdot \text{Ell}_{\text{orb}}(X^n / \Sigma_n; y, q)$ 与 Dijkgraaf-Moore-Verlinde 公式完全一致。
• 轨道椭圆亏格是 $G$-bordism 的不变量，在零 bordism $G$-流形上消失。
• 对于 $G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，通过 Kosniowski 的 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-bordism 生成元，证明了轨道椭圆亏格与奇异椭圆亏格（归一化后）相等的猜想。
• 通过通用消去法构造等变解析化，确保了商轨道流形中各层之间的相容性。