[论文解读] Elliptic genus of Calabi-Yau manifolds and Jacobi and Siegel modular forms

Valery Gritsenko|ArXiv.org|Jun 28, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 18

一句话总结

本文证明了具有整数傅里叶系数的弱雅克比形式的分次环由四个基本形式 $\phi_{0,1}, \dots, \phi_{0,4}$ 自由生成，这些形式与二维、三维、四维和八维卡拉比-丘流形相关联。本文证明卡拉比-丘流形的椭圆亏格是权为 0、指标为 $d/2$ 的弱雅克比形式，并利用此结果推导出欧拉数和 $\chi_y$-亏格等特征类模 2 和 3 的幂的算术性质，包括当 $d \equiv 2 \mod 8$ 时 $e(M_d) \equiv 0 \mod 8$，以及当 $d \equiv 2 \mod 6$ 时 $\chi_{y=\zeta_3}(M_d) \equiv 0 \mod 9$。这些结果被应用于第二量化椭圆亏格和西格尔模形式，并与洛伦兹型卡茨-莫杜利代数建立联系。

ABSTRACT

In the paper we study two types of relations: a one is between the elliptic genus of Calabi-Yau manifolds and Jacobi modular forms, another one is between the second quantized elliptic genus, Siegel modular forms and Lorentzian Kac-Moody Lie algebras. We also determine the structure of the graded ring of the weak Jacobi forms with integral Fourier coefficients. It gives us a number of applications to the theory of elliptic genus and of the second quantized elliptic genus.

研究动机与目标

• 确定具有整数傅里叶系数的弱雅克比形式的分次环 $J_{0,*}^\mathbb{Z}$ 的代数结构。
• 证明该环由四个基本雅克比形式 $\phi_{0,1}, \dots, \phi_{0,4}$ 自由生成，每个形式分别对应于二维、三维、四维和八维卡拉比-丘流形。
• 利用模形式分析卡拉比-丘流形的 $\chi_y$-亏格及其在 $y = -1, i, \zeta_3$ 处的特殊值的算术性质。
• 将四维和六维卡拉比-丘流形的第二量化椭圆亏格与洛伦兹型卡茨-莫杜利代数的分母函数联系起来。
• 证明卡拉比-丘三流形的修正第二量化椭圆亏格是西格尔模形式 $\Phi_3(Z)$ 的幂，该形式具有最小除子和最大特征阶 12。

提出的方法

• 本文利用弱雅克比形式的理论及其在雅克比群 $\Gamma^J = SL_2(\mathbb{Z}) \ltimes H(\mathbb{Z})$ 作用下的变换性质，将卡拉比-丘流形的椭圆亏格表征为模形式对象。
• 应用黎曼-洛赫-赫兹布吕赫定理，将椭圆亏格的 $q^0$-项与赫茨布吕赫 $\chi_y$-亏格联系起来，从而实现对特征类的算术分析。
• 作者使用 Exp-Lift 构造将雅克比形式映射到更高亏格的西格尔模形式，生成具有指定除子的自守函数，如 $\Phi_3(Z)$ 和 $\Phi_5(Z)$。
• 分析这些西格尔模形式的除子结构，将其识别为判别式为 1 和 5 的有理二次除子（洪伯特曲面），并证明 $\Phi_3(Z)$ 具有阶 12 的特征和最小除子。
• 将第二量化椭圆亏格表示为洛伦兹型卡茨-莫杜利代数的分母函数的幂的乘积，从而将物理启发的构造与算术几何联系起来。
• 本文利用 $\eta$-函数和 theta 函数的模性质构造显式的尖点形式，并在模空间 $\mathcal{A}_6(v_2)$ 和 $\mathcal{A}_6(v_3)$ 上验证其几何与算术性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有整数傅里叶系数的弱雅克比形式的分次环 $J_{0,*}^\mathbb{Z}$ 的代数结构是什么？
• RQ2 卡拉比-丘流形的 $\chi_y$-亏格的算术性质（如欧拉数和示性数）模 2 和 3 的幂如何表现？
• RQ3 四维和六维卡拉比-丘流形的第二量化椭圆亏格能否用洛伦兹型卡茨-莫杜利代数的分母函数表示？
• RQ4 $\Phi_3(Z)$ 在高亏格中作为 $j$-不变量的模形式类比起什么作用？
• RQ5 卡拉比-丘三流形的贝蒂数如何通过 $\Phi_3(Z)^{h^{2,1}-h^{1,1}}$ 与修正的第二量化椭圆亏格相关联？

主要发现

• 具有整数傅里叶系数的弱雅克比形式的分次环 $J_{0,*}^\mathbb{Z}$ 由四个基本形式自由生成：$J_{0,*}^\mathbb{Z} = \mathbb{Z}[\phi_{0,1}, \phi_{0,2}, \phi_{0,3}, \phi_{0,4}]$，其中每个 $\phi_{0,m}$ 对应于复维数为 $2m$ 的卡拉比-丘流形。
• 当 $d \equiv 2 \mod 8$ 时，复维数为 $d$ 的卡拉比-丘流形 $M_d$ 的欧拉数满足 $e(M_d) \equiv 0 \mod 8$，如命题 2.4 所证。
• 当 $d \equiv 2 \mod 6$ 时，$\chi_y$-亏格在 $y = \zeta_3 = e^{2\pi i/3}$ 处的取值满足 $\chi_{y=\zeta_3}(M_d) \equiv 0 \mod 9$，如命题 2.5 所述。
• 四维或六维卡拉比-丘流形的第二量化椭圆亏格可表示为洛伦兹型卡茨-莫杜利代数分母函数的幂的乘积，这些代数结构见文献 [GN4]。
• 卡拉比-丘三流形的修正第二量化椭圆亏格为 $E^{(2)}(M_3; Z) = \Phi_3(Z)^{h^{2,1}-h^{1,1}}$，其中 $\Phi_3(Z)$ 是一个权为 0 的西格尔模形式，具有最小除子和阶 12 的特征。
• $\Phi_3(Z)$ 的平方由两个 $\Gamma_6^+$-尖点形式的商给出：$\Phi_3(Z)^2 = \frac{\text{Lift}(\eta^3 \vartheta^2 \vartheta(\cdot,2z))}{\text{Lift}(\eta^5 \vartheta(\cdot,2z))}$，其中分子和分母分别在模空间 $\mathcal{A}_6(v_2)$ 和 $\mathcal{A}_6(v_3)$ 上定义了典范微分形式。