[论文解读] Elliptic regularity and quantitative homogenization on percolation clusters

Scott N. Armstrong, Paul Dario|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 32被引用 54

一句话总结

本文通过将阿姆斯特朗与斯玛特的定量均质化框架适配至随机多孔介质，采用多尺度重整化方法，建立了超临界渗透簇上椭圆方程的定量均质化、大尺度正则性以及Liouville型定理。关键结果是均质化尺度的拉伸指数矩估计，以及对任意次数多项式增长的Liouville性质的推广。

ABSTRACT

We establish quantitative homogenization, large-scale regularity and Liouville results for the random conductance model on a supercritical (Bernoulli bond) percolation cluster. The results are also new in the case that the conductivity is constant on the cluster. The argument passes through a series of renormalization steps: first, we use standard percolation results to find a large scale above which the geometry of the percolation cluster behaves (in a sense made precise) like that of Euclidean space. Then, following the work of Barlow, we find a succession of larger scales on which certain functional and elliptic estimates hold. This gives us the analytic tools to adapt the quantitative homogenization program of Armstrong and Smart to estimate the yet larger scale on which solutions on the cluster can be well-approximated by harmonic functions on $\\mathbb{R}^d$. This is the first quantitative homogenization result in a porous medium and the harmonic approximation allows us to estimate the scale on which a higher-order regularity theory holds. The size of each of these random scales is shown to have at least a stretched exponential moment. As a consequence of this regularity theory, we obtain a Liouville-type result that states that, for each $k\\in\\mathbb{N}$, the vector space of solutions growing at most like $o(|x|^{k+1})$ as $|x|\ o \\infty$ has the same dimension as the set of harmonic polynomials of degree at most $k$, generalizing a result of Benjamini, Duminil-Copin, Kozma, and Yadin from $k\\le1$ to $k\\in\\mathbb{N}$.

研究动机与目标

• 为超临界渗透簇上的椭圆方程发展定量均质化理论，该簇是随机多孔介质的模型。
• 建立在无穷远处至多多项式增长的解的大尺度正则性与Liouville型结果。
• 将阿姆斯特朗与斯玛特的定量均质化计划推广至渗透簇的随机、几何不规则设定。
• 证明在无穷远处至多以 |x|^k 速度增长的解的空间维数，等于次数至多为 k 的调和多项式空间的维数，从而推广了先前的结果。

提出的方法

• 利用标准渗透理论，识别出一个大尺度，在该尺度以上簇的几何结构近似于欧几里得空间。
• 应用巴洛的多尺度分析，在连续尺度上推导函数与椭圆估计。
• 构造一列次可加能量量，以控制狄利克雷问题中均质化误差的控制。
• 将阿姆斯特朗与斯玛特的定量均质化框架适配，以估计解在 R^d 上被调和函数良好逼近的尺度。
• 利用多尺度Poincaré不等式，控制不同尺度间梯度的振荡。
• 证明所有涉及的随机尺度均具有至少拉伸指数矩，从而确保概率控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆方程在超临界渗透簇上的均质化收敛速率为何？
• RQ2 在随机簇上解的大尺度正则性与欧几里得空间中的情况相比如何？
• RQ3 调和函数的Liouville性质能否推广至渗透簇上任意次数多项式增长的解？
• RQ4 解在簇上被 R^d 上调和函数良好逼近的尺度大小为何？
• RQ5 簇的几何与分析性质是否允许在均质化尺度上建立具有矩估计的定量均质化理论？

主要发现

• 狄利克雷问题的均质化误差衰减速率由一个具有拉伸指数矩的随机尺度控制。
• 建立了多尺度Poincaré不等式，从而能够控制不同尺度间梯度波动。
• 当 |x|→∞ 时，解的增长速度至多为 o(|x|^{k+1}) 的空间维数，等于次数至多为 k 的调和多项式空间的维数，对任意 k∈ℕ 成立。
• 解在簇上被 R^d 上调和函数良好逼近的尺度至少具有拉伸指数尾部。
• 即使簇上电导率恒定，结果依然成立，从而将先前结果推广至随机多孔介质情形。
• 该方法提供了一个稳健的框架，可通过调和逼近推导随机簇上的高阶正则性估计。