[论文解读] Elliptic regularity for Dirac operators on families of noncompact manifolds

Johannes Ebert|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 14

一句话总结

本文建立了在非紧流形族上狄拉克算子的椭圆正则性理论，将指标理论推广至包含$$\mathrm{C}^*\text{-代数}$-线性算子和非局部平凡纤维丛的情形。证明了在完备性和椭圆性条件下，狄拉克算子的有界变换定义了一个弗雷德霍姆族，其指标属于$K^0(X;\mathbf{A})$，将经典的阿蒂yah-辛格与米申科-福明科指标理论推广至非紧和非平凡族的情形。

ABSTRACT

We develop elliptic regularity theory for Dirac operators in a very general framework: we consider Dirac operators linear over $C^*$-algebras, on noncompact manifolds, and in families which are not necessarily locally trivial fibre bundles.

研究动机与目标

• 为具有$$\mathrm{C}^*\text{-代数}$-系数的非紧流形上狄拉克算子的椭圆正则性建立一个通用框架。
• 将阿蒂yah-辛格族指标定理推广至非紧纤维且不一定是局部平凡纤维丛的狄拉克算子族。
• 通过连续的希尔伯特-$\mathbf{A}$-模场与函数演算，定义并表征此类算子在$K$-理论群$K^0(X;\mathbf{A})$中的指标。
• 在该推广设定下，利用莫里塔等价与$KK$-理论，建立陈-同构与玻特定理。

提出的方法

• 通过连续的希尔伯特-$\mathbf{A}$-模场，形式化在$$\mathrm{C}^*\text{-代数}$上线性化的微分算子。
• 通过函数演算与谱理论，在希尔伯特模上定义无界自伴算子。
• 在完备性假设下，为非紧流形上的狄拉克算子构造有界变换$\frac{D}{(1+D^2)^{1/2}}$。
• 使用$KK$-理论证明在包含$\mathbf{A}$-线性算子的推广设定下，陈-同构与玻特定理成立。
• 应用莫里塔等价关系，关联不同克莱夫模的$K$-群，并在$K$-理论群之间建立同构。
• 证明在适当的几何与分析条件下，有界变换族$\left(\frac{D_x}{(1+D_x^2)^{1/2}}\right)_{x\in X}$在$K^0(X;\mathbf{A})$中定义了一个类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有$$\mathrm{C}^*\text{-代数}$-系数的非紧流形上，狄拉克算子在何种条件下是本质上自伴的？
• RQ2 当纤维为非紧且族非局部平凡时，狄拉克算子的族指标应如何定义？
• RQ3 有界变换在表征$K^0(X;\mathbf{A})$中指标时起什么作用？
• RQ4 在$$\mathrm{C}^*\text{-代数}$-线性算子族的背景下，陈-同构与玻特定理如何推广？
• RQ5 能否通过$KK$-理论与莫里塔等价计算非紧流形族上狄拉克算子的指标？

主要发现

• 当狄拉克算子在完备的非紧流形上本质上自伴时，有界变换$\frac{D}{(1+D^2)^{1/2}}$在希尔伯特模$L^2(M;V)$上定义了一个弗雷德霍姆算子。
• 在完备性和椭圆性假设下，对于非紧纤维上的狄拉克算子族，其有界变换族在$K^0(X;\mathbf{A})$中定义了一个类。
• 对于欧几里得向量丛$V\to X$，陈-同构$K^W(X;\mathbf{A}) \xrightarrow{\sim} K^{W\oplus V}(V,V_0;\mathbf{A})$成立，推广了玻特定理。
• 玻特定理被实现为与玻特类$\beta \in KK(\mathbf{Cl}^{1,0}, \mathbf{C}_0(\mathbb{R}))$的$KK$-交积，证明其为$KK$-等价。
• 莫里塔等价$\operatorname{mor}_V$诱导同构$K^W(X;\mathbf{A}) \xrightarrow{\sim} K^{W\oplus V\oplus V^{-}}(X;\mathbf{A})$，保持$K$-理论结构。
• 广义$K$-理论群$K^V(X,Y;\mathbf{A})$同构于$KK(\mathbf{C}; \Gamma_0(X-Y; \mathbf{Cl}(V^{-}\otimes\mathbf{A})))$，为扭曲$K$-理论提供了$KK$-理论描述。