[论文解读] Elliptic solutions of Boussinesq type lattice equations and the elliptic Nth root of unity

Frank Nijhoff, Yingying Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2019

Nonlinear Waves and Solitons被引用 4

一句话总结

本文通过基于格子KP方程的椭圆直接线性化方案的维数约化，建立了一个无限族椭圆函数解，用于格子Boussinesq系统。关键创新在于引入了‘椭圆N次单位根’这一新颖技术概念，使能够构造涉及Weierstrass ℘-函数和σ-函数的解，并显式推导出椭圆情形下的N-孤子塔解。

ABSTRACT

We establish an infinite family of solutions in terms of elliptic functions of the lattice Boussinesq systems by setting up a direct linearisation scheme, which provides the solution structure for those equations in the elliptic case. The latter, which contains as main structural element a Cauchy kernel on the torus, is obtained from a dimensional reduction of the elliptic direct linearisation scheme of the lattice Kadomtsev-Petviashvili equation, which requires the introduction of a novel technical concept, namely the "elliptic cube root of unity". Thus, in order to implement the reduction we define, more generally, the notion of {\\em elliptic $N^{\ m th}$ root of unity}, and discuss some of its properties in connection with a special class of elliptic addition formulae. As a particular concrete application we present the class of elliptic $N$-soliton solutions of the lattice Boussinesq systems.

研究动机与目标

• 将直接线性化框架扩展至高秩可积格子方程，特别是格子Boussinesq系统。
• 解决与广为人知的ABS列表相比，秩-3格子方程缺乏系统解结构的问题。
• 通过将单位根概念推广至椭圆情形，发展一种能够生成椭圆解（包括N-孤子塔解）的形式体系。
• 通过引入椭圆N次单位根作为技术工具，建立代数几何解与直接线性化之间的桥梁。

提出的方法

• 采用从格子Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的椭圆直接线性化方案出发的维数约化方法。
• 引入‘椭圆N次单位根’的概念，以处理从KP系统约化至Boussinesq系统所需的代数结构。
• 利用Weierstrass ℘-函数和σ-函数，通过柯西核公式在环面上构造解。
• 通过施加特定的函数恒等式与参数约束，将格子Boussinesq系统作为格子KP系统的一致约化推导出来。
• 基于基于椭圆函数的特征向量试探法，为格子Boussinesq系统与修正Boussinesq系统构造Lax对。
• 通过推导涉及℘与σ函数的耦合方程组，验证解框架的一致性，从而导出格子Boussinesq方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将直接线性化框架扩展至如格子Boussinesq系统这样的高秩可积格子方程？
• RQ2 为在解构造中推广单位根概念至椭圆情形，需要何种代数结构？
• RQ3 能否系统地推导出格子Boussinesq系统在椭圆函数下的N-孤子塔解？
• RQ4 在椭圆函数设定下，从格子KP方程到格子Boussinesq系统的维数约化过程如何实现？
• RQ5 特殊椭圆加法公式在通过直接线性化方法实现解构造的过程中起到何种作用？

主要发现

• 利用从椭圆函数导出的参数，通过Weierstrass σ-函数构造了格子Boussinesq系统的无限族解。
• 引入‘椭圆N次单位根’为从格子KP方程约化至格子Boussinesq系统提供了必要的技术框架。
• 解结构基于环面上的柯西核，推广了有理情形，实现了椭圆解的推导。
• 格子Boussinesq系统通过涉及℘与σ函数的耦合方程组系统，作为格子KP系统的一致约化被重新获得。
• 为格子Boussinesq系统与修正Boussinesq系统显式构造了Lax对，其矩阵元以Weierstrass ℘与σ函数表示。
• 该框架支持在椭圆情形下构造N-孤子塔解，将先前关于有理函数解的结果推广至椭圆函数解。