[论文解读] Elliptic solutions to Toda lattice hierarchy and elliptic Ruijsenaars-Schneider model

Vadim Vyacheslavovich Prokofev, A. Zabrodin|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2021

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文建立了二维Toda格子（2DTL）层次的椭圆解与可积椭圆Ruijsenaars-Schneider（eRS）多体系统之间的精确对应关系。结果表明，2DTL层次中更高时间 $t_m$ 和 $ar{t}_m$ 的极点动力学由eRS模型的谱曲线导出的哈密顿量所支配：$H_m$ 来自 $ au(z)$ 在 $z=\infty$ 处关于 $z$ 的负幂次洛朗展开，而 $ar{H}_m$ 来自在 $z=0$ 处关于 $z$ 的正幂次展开。关键结果是通过谱曲线展开将2DTL层次的更高流与eRS层次相联系。

ABSTRACT

We consider solutions of the 2D Toda lattice hierarchy which are elliptic functions of the zeroth time t_0=x. It is known that their poles as functions of t_1 move as particles of the elliptic Ruijsenaars-Schneider model. The goal of this paper is to extend this correspondence to the level of hierarchies. We show that the Hamiltonians which govern the dynamics of poles with respect to the m-th hierarchical times t_m and \bar t_m of the 2D Toda lattice hierarchy are obtained from expansion of the spectral curve for the Lax matrix of the Ruijsenaars-Schneider model at the marked points.

研究动机与目标

• 为椭圆解建立二维Toda格子（2DTL）层次与椭圆Ruijsenaars-Schneider（eRS）多体系统之间的对应关系。
• 将已知的关于第一种时间 $t_1$ 的极点动力学对应关系推广至完整的更高时间 $t_m$ 和 $ar{t}_m$ 层次。
• 识别出支配2DTL层次中极点动力学的哈密顿量，其来源于eRS模型谱曲线展开的系数。
• 将先前关于有理与三角函数极限的结果推广至完整的椭圆情形。
• 以eRS运动积分的形式，给出前几个哈密顿量 $H_m$ 和 $ar{H}_m$ 的显式表达式。

提出的方法

• 本文采用波函数及其对偶的辅助线性问题，通过极点假设构造每个基本域中仅含一个单极点的双亚纯解。
• 椭圆解的 $\tau$-函数表示为 $\tau(x,t,\bar{t}) = \exp\left(-\sum_{k\geq1} kt_k\bar{t}_k\right) \prod_{i=1}^N \sigma(x - x_i(t,\bar{t}))$，其中 $\sigma(x)$ 为Weierstrass的 $\sigma$ 函数。
• eRS模型的谱曲线定义为 $\det\left(z e^{\eta \zeta(\lambda)} I - L(\lambda)\right) = 0$，其中 $L(\lambda)$ 为Lax矩阵，$\zeta(\lambda)$ 为Weierstrass的 $\zeta$ 函数。
• 正时间 $t_m$ 的哈密顿量作为 $ au(z)$ 在 $z=\infty$ 附近关于 $z$ 的负幂次洛朗展开中 $z^{-m}$ 的系数提取得出。
• 负时间 $ar{t}_m$ 的哈密顿量作为 $ au(z)$ 在 $z=0$ 附近关于 $z$ 的正幂次洛朗展开中 $z^m$ 的系数提取得出。
• 通过谱曲线和 $ au(z)$ 的展开，推导出 $H_m$ 和 $ar{H}_m$ 的显式公式，其中归一化的运动积分 $J_m$ 定义为 $\sigma(m\eta)/\sigma^m(\eta)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 2DTL层次的更高时间流 $t_m$ 和 $ar{t}_m$ 如何与椭圆Ruijsenaars-Schneider模型的哈密顿量相关联？
• RQ2 谱曲线 $\det(z e^{\eta \zeta(\lambda)} I - L(\lambda)) = 0$ 在生成2DTL层次所有哈密顿量中起何精确作用？
• RQ3 支配极点动力学的哈密顿量 $H_m$ 和 $ar{H}_m$ 如何从 $ au(z)$ 在 $z=\infty$ 和 $z=0$ 处的洛朗展开中导出？
• RQ4 前几个哈密顿量 $H_m$ 和 $ar{H}_m$ 在eRS运动积分下的显式形式为何？
• RQ5 椭圆解的有理与三角函数极限如何重现先前关于KP与mKP层次工作的已知结果？

主要发现

• 2DTL层次中关于第 $m$ 个正时间 $t_m$ 的极点动力学由哈密顿量 $H_m$ 所支配，$H_m$ 为 $ au(z)$ 在 $z=\infty$ 处关于 $z$ 的负幂次洛朗展开中 $z^{-m}$ 的系数。
• 2DTL层次中关于第 $m$ 个负时间 $ar{t}_m$ 的极点动力学由哈密顿量 $ar{H}_m$ 所支配，$ar{H}_m$ 为 $ au(z)$ 在 $z=0$ 处关于 $z$ 的正幂次洛朗展开中 $z^m$ 的系数。
• 前三个哈密顿量的显式表达式为：$H_1 = J_1$，$H_2 = J_2 - \zeta(\eta)J_1^2$，$H_3 = J_3 - (\zeta(\eta) + \zeta(2\eta))J_1J_2 + \left(\frac{3}{2}\zeta^2(\eta) - \frac{1}{2}\wp(\eta)\right)J_1^3$，其中 $J_m$ 为归一化的eRS运动积分。
• 在有理极限下，哈密顿量简化为：$H_1 = I_1$，$H_2 = \eta^{-1}(2I_2 - I_1^2)$，$H_3 = \eta^{-2}(3I_3 - 3I_1I_2 + I_1^3)$，与Calogero-Moser系统已知结果一致。
• 在三角函数极限下，哈密顿量为 $H_m = -\frac{\sinh(\gamma \eta m)}{\gamma m} \operatorname{tr} L_m^{\text{trig}}$，重现了文献[20]中关于三角函数Ruijsenaars-Schneider模型的结果。
• 谱曲线 $\det(z e^{\eta \zeta(\lambda)} I - L(\lambda)) = 0$ 作为eRS模型所有更高哈密顿量的生成函数，$ au(z)$ 编码了完整的流层次。