[论文解读] Elliptically Symmetric Lenses and Violation of Burke's Theorem

Sun Hong Rhie|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2010

History and Developments in Astronomy参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文表明，由于在外部透镜方程中存在伪焦线，有界椭球对称透镜（ESLs）违反了伯克定律，其根源在于引力偏转积分中平方根项的分支切割。与光滑无界质量分布不同，有界ESLs在伪焦线处发生像数变化，破坏了总宇称不变性，挑战了长期以来认为光滑密度函数在引力透镜中保持像宇称的假设。

ABSTRACT

We show that the outside equation of a bounded elliptically symmetric lens (ESL) exhibits a pseudo-caustic that arises from a branch cut. A pseudo-caustic is a curve in the source plane across which the number of images changes by one. The inside lens equation of a bounded ESL is free of a pseudo-caustic. Thus the total parity of the images of a point source lensed by a bounded elliptically symmetric mass is not an invariant in violation of the Burke's theorem. A smooth mass density function does not guarantee the validity of the Burke's theorem. Pseudo-caustics of various lens equations are discussed. In the Appendix, Bourassa and Kantowski's deflection angle formula for an elliptically symmetric lens is reproduced using the Schwarz function of the ellipse for an easy access; the outside and inside lens equations of an arbitrary set of truncated circularly or elliptically symmetric lenses, represented as points, sticks, and disks, are presented as a reasonable approximation of the realistic galaxy or cluster lenses. One may consider smooth density functions that are not bounded but fall sufficiently fast asymptotically to preserve the total parity invariance. Any bounded function may be sufficiently closely approximated by an unbounded smooth function obtained by truncating its Fourier integral at a high frequency mode. Whether to use a bounded function or an unbounded smooth function for an ESL lens mass density, whereby whether to observe the total parity invariance or not, incurs philosophical questions. For example, is it sensible to insist that the elliptical symmetry of an elliptic lens galaxy be valid in the entire sky? How a pseudo-caustic close to or intersecting with a caustic must be withered away during a smoothing process and what it means will be investigated in a separate work.

研究动机与目标

• 研究有界椭球对称质量分布是否违反伯克定律中关于总像宇称不变性的要求。
• 分析透镜方程中伪焦线的起源，特别是其如何从偏转积分中的分支切割产生。
• 证明有界ESL的外部透镜方程包含伪焦线，而内部方程不包含，从而导致宇称非不变性。
• 探讨在建模星系和星系团透镜时，使用有界与无界光滑质量函数在哲学和物理上的影响。

提出的方法

• 利用椭圆的施瓦茨函数和复分析技术，推导有界椭球对称透镜的归一化外部和内部透镜方程。
• 应用柯西积分定理和斯托克斯定理，对椭圆路径上的偏转积分进行求值。
• 以椭球径向参数η和积分限t_cut（外部为1，内部为η）来分析透镜方程，揭示其对分支切割的依赖性。
• 考虑两种具体模型：反正弦透镜（σ̃(t) = 1/t）和恒定密度透镜（σ̃(t) = 2），推导其显式透镜方程。
• 使用施瓦茨函数形式化方法重现并推广了鲍拉萨和坎托夫斯基（1975）的偏转角公式，以增强其普遍适用性。
• 提出将星系和星系团透镜建模为点质量、棒状（椭圆透镜）和圆盘的集合，配合适当的内外部透镜方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界椭球对称透镜是否违反伯克定律所要求的总像宇称不变性？
• RQ2 有界ESL外部透镜方程中的伪焦线起源为何？其与内部方程有何不同？
• RQ3 在有界模型失效的透镜系统中，是否可使用光滑无界质量密度函数来恢复总宇称不变性？
• RQ4 偏转积分中平方根项的分支切割如何导致伪焦线的形成？
• RQ5 在透镜模型中使用有界质量分布对伯克等基本定理的有效性有何影响？

主要发现

• 有界椭球对称透镜的外部透镜方程由于偏转积分中平方根项的分支切割而表现出伪焦线，导致该曲线上下图像数量变化一个。
• 有界ESL的内部透镜方程不包含伪焦线，意味着在质量分布内部图像数量保持稳定。
• 因此，有界ESL形成的总像宇称不具有不变性，直接违反了伯克定律。
• 这种违反并非源于点奇点，而是源于积分的数学结构，特别是复平面上c-cut的多值性。
• 在无穷远处衰减足够快的光滑无界质量密度函数可保持总宇称不变性，为有界模型提供了一种替代方案。
• 本文提出，可通过对其傅里叶积分进行高频截断，用无界光滑函数近似有界质量函数，从而引发关于有界模型在透镜中物理有效性的基础性疑问。