[论文解读] Embedded constant mean curvature hypersurfaces on spheres

Óscar Perdomo|ArXiv.org|Mar 7, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 7

一句话总结

该论文通过分析在 $2\pi/m$ 旋转下不变的剖面曲线，构造了在 $S^{n+1}$ 中非等参、紧致、嵌入的常平均曲率（CMC）超曲面，其中 $n \geq 2$，$m \geq 2$，对称群为 $O(n) \times \mathbb{Z}_m$。证明了当平均曲率 $H$ 位于 $\cot(\pi/m)$ 与 $b_{m,n} = \frac{(m^2-2)\sqrt{n-1}}{n\sqrt{m^2-1}}$ 之间时，此类嵌入 CMC 超曲面存在，并表明在 $S^3$ 中，每个 $H \neq 0, \pm 1/\sqrt{3}$ 均可作为非等参 CMC 曲面的平均曲率。该结果可推广至双曲空间与欧氏空间，采用类似构造方法。

ABSTRACT

Let m>1 and n>1 be any pair of integers. In this paper we prove that if H is between the numbers \cot(\fracπ{m}) and b_{m,n}=\frac{(m^2-2)\sqrt{n-1}}{n\sqrt{m^2-1}}, then, there exists a non isoparametric, compact embedded hypersurface in S^{n+1} with constant mean curvature H that admits the group O(n)x Z_m in their group of isometries, here O(n) is the set of n x n orthogonal matrices and Z_m are the integers mod m. When m=2 and H is close to the boundary value 0, the hypersurfaces look like two very close n-dimensional spheres with two catenoid necks attached, similar to constructions made by Kapouleas. When m>2 and H is close to \cot(\fracπ{m}), the hypersurfaces look like a necklets made out of m spheres with (m+1) catenoid necks attached, similar to constructions made by Butscher and Pacard. In general, when H is close to b_{m,n} the hypersurface is close to an isoparametric hypersurface with the same mean curvature. As a consequence of the expression of these bounds for H, we have that every H different from 0,\pm\frac{1}{\sqrt{3}} can be realized as the mean curvature of a non isoparametric CMC surface in S^3. For hyperbolic spaces we prove that every non negative H can be realized as the mean curvature of an embedded CMC hypersurface in H^{n+1}, moreover we prove that when H>1 this hypersurface admits the group O(n) imes Z in its group of isometries. Here Z are the integer numbers. As a corollary of the properties proven for these hypersurfaces, for any n> 5, we construct non isoparametric compact minimal hypersurfaces in S^{n+1} which cone in R^{n+2} is stable. Also, we will prove that the stability index of every non isoparametric minimal hypersurface with two principal curvatures in S^{n+1} is greater than 2n+5.

研究动机与目标

• 在 $S^{n+1}$ 中构造具有指定对称性 $O(n) \times \mathbb{Z}_m$ 的非等参、紧致、嵌入 CMC 超曲面。
• 确定此类嵌入超曲面存在的平均曲率 $H$ 的范围。
• 将构造方法推广至双曲空间与欧氏空间，建立嵌入性与对称性性质。
• 分析 $S^{n+1}$ 中具有两个主曲率的极小超曲面的稳定性指标，证明其大于 $2n+5$。
• 证明当 $n \geq 6$ 时，$S^{n+1}$ 中某些极小超曲面在 $\mathbb{R}^{n+2}$ 中的锥化结构为稳定极小锥。

提出的方法

• 通过分离径向与角向分量分析 CMC 超曲面的剖面曲线，证明角度函数严格递增，以保证单射性与嵌入性。
• 使用常微分方程 $ (g')^2 = g^{2-2n} q(g) $ 来建模 $S^{n+1}$ 中的剖面曲线，其中 $ q(v) = C v^{2n-2} - (H^2 - 1)v^{2n} - 2H v^n - 1 $。
• 采用 Otsuki 方法的改进版本，分别追踪半径与角度，避免依赖支撑函数。
• 定义总旋转角 $ K = \int_0^T \frac{r(u)\lambda(u)}{1 + r^2(u)} du $ 以判断周期性及 $\mathbb{Z}_m$ 旋转下的对称性。
• 将方法适配至双曲空间，使用修正后的 ODE（当 $ H > 1 $ 时），证明存在周期解并保证嵌入性。
• 利用几何积分与向量场分析（如 $\eta$、$\nu$）从剖面曲线重构超曲面，并确认其具有常平均曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $H$ 值，存在具有 $O(n) \times \mathbb{Z}_m$ 对称性的非等参、紧致、嵌入 CMC 超曲面？
• RQ2 是否每个 $H \neq 0, \pm 1/\sqrt{3}$ 都可实现为 $S^3$ 中非等参 CMC 曲面的平均曲率？
• RQ3 具有两个主曲率的非等参极小超曲面在 $S^{n+1}$ 中的稳定性指标是多少？
• RQ4 能否在 $H^{n+1}$ 中构造具有 $H > 1$ 与 $O(n) \times \mathbb{Z}$ 对称性的嵌入 CMC 超曲面？
• RQ5 当 $n \geq 6$ 时，$S^{n+1}$ 中某些极小超曲面是否在 $\mathbb{R}^{n+2}$ 中锥化为稳定极小锥？

主要发现

• 当 $H \in \left(\cot\left(\frac{\pi}{m}\right), \frac{(m^2-2)\sqrt{n-1}}{n\sqrt{m^2-1}}\right)$ 时，存在具有 $O(n) \times \mathbb{Z}_m$ 对称性的非等参、紧致、嵌入 CMC 超曲面。
• 当 $m=2$ 且 $H \to 0^+$ 时，超曲面表现为两个几乎重合的 $n$-球面，通过两个双曲面颈部连接。
• 当 $m>2$ 且 $H \to \cot(\pi/m)^+$ 时，超曲面表现为由 $m$ 个球体通过 $m+1$ 个双曲面颈部连接的项链状结构。
• 当 $n \geq 6$ 时，论文构造了非等参、紧致的极小超曲面，其在 $\mathbb{R}^{n+2}$ 中的锥化结构是稳定的。
• 所有具有两个主曲率的非等参极小超曲面在 $S^{n+1}$ 中的稳定性指标均大于 $2n+5$。
• 在 $H^{n+1}$ 中，每个 $H \geq 0$ 均可实现为嵌入 CMC 超曲面的平均曲率，且当 $H > 1$ 时，此类超曲面具有 $O(n) \times \mathbb{Z}$ 对称性。