[论文解读] Embedded H-holomorphic maps and open book decompositions

Jens von Bergmann|ArXiv.org|Jul 22, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通過證明精緻嵌入的ℋ–全純映射在局部上纏繞穩定哈密頓3-流形，且當存在全局截面時可進行緊化，從而確立了每個接觸3-流形都存在ℋ–全純開書分解。主要貢獻在於此類分解的存在性，將辛拓撲中的技術延伸至全純曲線，以支援威斯汀猜想計畫。

ABSTRACT

We investigate nicely embedded H--holomorphic maps into stable Hamiltonian three--manifolds. In particular we prove that such maps locally foliate and satisfy a no--first--intersection property. Using the compactness results of arXiv:0904.1603 we show that connected components of the space of such maps can be compactified if they contain a global surface of section. As an application we prove that any contact structure on a 3--manifold admits and H--holomorphic open book decomposition. This work is motivated by the program laid out by Abbas, Cieliebak and Hofer to give a proof to the Weinstein conjecture using holomorphic curves. The results in this paper, with the exception of the compactness statement, have been independently obtained by C. Abbas in arXiv:0907.3512.

研究动机与目标

• 確立3維接觸流形中ℋ–全純開書分解的存在性。
• 表明精緻嵌入的ℋ–全純映射在局部上纏繞穩定哈密頓3-流形。
• 證明當存在全局截面時，此類映射的模空間連通分支可被緊化。
• 將J–全純曲線理論的結果延伸至ℋ–全純設定，以支援威斯汀猜想計畫。

提出的方法

• 本文將ℋ–全純映射定義為涉及接觸平面場上近乎複結構及1-形式α的拉回上週期條件的修改版柯西-黎曼方程的解。
• 引入「精緻嵌入」ℋ–全純映射的概念，要求具有最大橫向漸近逼近性且弗雷德霍姆指標為1。
• 作者利用[vB09]中的緊化結果，證明當存在全局截面時，此類映射的模空間可自然緊化。
• 證明依賴隱函數定理與在穿孔處的漸近分析，其中權重δ > 0被選擇使得δ < −λ對所有負特徵值λ的漸近算子成立。
• 證明帶有一個標記點的模空間至流形的評價映射在模空間緊緻且映射為嵌入時為微分同胚。
• 使用變形論方法，將J₀–全純開書變形為ℋ–全純開書，並在開書投影的小等距變換下保持纏繞結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 每個3-流形上的接觸結構是否都能由ℋ–全純開書分解支撐？
• RQ2 精緻嵌入的ℋ–全純映射是否在局部上纏繞穩定哈密頓3-流形？
• RQ3 在何種條件下，精緻嵌入的ℋ–全純映射的模空間可被緊化？
• RQ4 模空間的緊化與全局截面的存在性有何關係？
• RQ5 J–全純曲線開書結構能否透過變形推廣至ℋ–全純設定？

主要发现

• 每個閉3-流形上的接觸結構都存在ℋ–全純開書分解，此結果透過一參數族穩定哈密頓結構將J₀–全純開書變形為ℋ–全純開書而證得。
• 精緻嵌入的ℋ–全純映射在周圍穩定哈密頓3-流形中局部纏繞，於綁定附近形成有限能量纏繞。
• 若其中一個映射為全局截面，則精緻嵌入的ℋ–全純映射模空間的連通分支可透過遺忘映射與緊化定理實現緊化。
• 當模空間緊緻且映射為嵌入時，帶有一個標記點的模空間至流形除去綁定的評價映射為微分同胚。
• 當模空間緊化且映射為精緻嵌入時，ℋ–全純映射的模空間微分同胚於S¹，暗示開書分解中自然存在S¹族的頁面。
• 緊化結果依賴於ω-與α-能量的均勻有界性及週期的均勻有界性，確保收斂至頸-節點ℋ–全純映射。