[论文解读] Embedding 5-planar graphs in three pages

Hoffmann, Michael, Klemz, Boris|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Interconnection Networks and Systems参考文献 15被引用 1

一句话总结

本文提出了一种 O(n²) 时间算法，将任意 5-平面图（最大度为 5 的平面图）嵌入到三页书本嵌入中，证明了 5-平面图的页数至多为 3。该方法递归地将图分解为双连通分量，嵌入外环，并通过拓扑排序、相切树和基于锚点的边放置相结合的方式，系统地将边分配到页面，以避免交叉。

ABSTRACT

A \emph{book-embedding} of a graph $G$ is an embedding of vertices of $G$ along the spine of a book, and edges of $G$ on the pages so that no two edges on the same page intersect. the minimum number of pages in which a graph can be embedded is called the \emph{page number}. The book-embedding of graphs may be important in several technical applications, e.g., sorting with parallel stacks, fault-tolerant processor arrays design, and layout problems with application to very large scale integration (VLSI). Bernhart and Kainen firstly considered the book-embedding of the planar graph and conjectured that its page number can be made arbitrarily large [JCT, 1979, 320-331]. Heath [FOCS84] found that planar graphs admit a seven-page book embedding. Later, Yannakakis proved that four pages are necessary and sufficient for planar graphs in [STOC86]. Recently, Bekos et al. [STACS14] described an $O(n^{2})$ time algorithm of two-page book embedding for 4-planar graphs. In this paper, we embed 5-planar graphs into a book of three pages by an $O(n^{2})$ time algorithm.

研究动机与目标

• 确定 5-平面图是否可以嵌入三页中，以扩展对 4-平面图已知结果的结论。
• 解决关于两页是否足以容纳 5-平面图的开放问题。
• 开发一种高效、时间复杂度为 O(n²) 的三页书本嵌入算法，用于 5-平面图。
• 将用于 4-平面图的方法推广至处理最大度为 5 的图。
• 证明 5-平面图的页数至多为 3，优于已知的上界 4。

提出的方法

• 将 5-平面图分解为双连通分量，并将无桥子图收缩为块顶点，形成森林 F。
• 以固定的脊线顺序嵌入外环 Cout，除连接其最外侧顶点的边外，其余边均放置于一页。
• 在辅助图 GT_aux 上使用拓扑排序，以依赖感知的顺序处理顶点。
• 在相切树 Gtan 上应用 BFS，在锚定树 T 上应用 DFS，以指导边的分配并维持平面性约束。
• 通过将块顶点替换为其对应外环并重新应用嵌入过程，递归地嵌入内部子图。
• 根据弦度数和锚点位置，将外环上顶点的关联边分配到页面，通过案例分析避免交叉。

实验结果

研究问题

• RQ1 5-平面图能否嵌入三页中，若能，该界是否紧致？
• RQ2 5-平面图的页数是否保持有界，其最小所需页数是多少？
• RQ3 能否将 4-平面图的 O(n²) 算法扩展至 5-平面图，并仅使用三页？
• RQ4 是否可能将 5-平面图的页数减少至两页，还是三页为最小值？
• RQ5 如何形式化递归分解与边分配策略，以在三页嵌入中避免交叉？

主要发现

• 本文提出了一种时间复杂度为 O(n²) 的算法，可为任意 5-平面图构造三页书本嵌入。
• 5-平面图的页数至多为 3，优于先前的上界 4。
• 该算法扩展了先前用于 4-平面图的方法，后者此前仅需两页。
• 通过保持不变量性质（IP-1 至 IP-5），确保跨页无边交叉，从而保证了嵌入的正确性。
• 通过仔细分析弦配置和锚点位置，该方法有效处理了度为 5 的顶点，避免了冲突。
• 该算法的时间复杂度为 O(n²)，在 VLSI 设计和图布局的实际应用中具有高效性。