[论文解读] Embedding cocyclic D-optimal designs in cocyclic Hadamard matrices

Víctor Álvarez, José-Andrés Armario+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出一种将双循环 D-最优设计（行列式最大的子矩阵）嵌入阶数为 $4t$ 的双循环 Hadamard 矩阵的方法，利用代数双循环运算。关键结果表明，当 $t=5$ 时，阶数为 10 的 D-最优设计可被以完全选主元（CP）形式嵌入任意 $D_{20}$-Hadamard 矩阵中，产生特定的选主元模式，并证实此类子矩阵在完全选主元的高斯消去法每一步均达到最大可能的子式。

ABSTRACT

In this paper a method for embedding cocyclic submatrices with ``large'' determinants of orders 2t in certain cocyclic Hadamard matrices of orders 4t is described (t an odd integer). If these determinants attain the largest possible value, we are embedding D-optimal designs. Applications to the pivot values that appear when Gaussian Elimination with complete pivoting is performed on these cocyclic Hadamard matrices are studied.

研究动机与目标

• 开发一种将双循环子矩阵（具有较大行列式）嵌入阶数为 $4t$ 的双循环 Hadamard 矩阵中的方法。
• 确定此类嵌入子矩阵在何种条件下达到最大行列式，即成为 D-最优设计。
• 分析在这些矩阵上进行完全选主元高斯消去法时产生的选主元值。
• 建立双循环 Hadamard 矩阵的结构与在消去过程每一步均实现最大子式的可行性之间的联系。

提出的方法

• 该方法使用组合运算——行与列的消去和加法——对双循环矩阵操作，以嵌入具有较大行列式的子矩阵。
• 这些运算被转化为使用双循环的代数框架，从而在双循环结构内系统地构造子矩阵。
• 该方法依赖于验证嵌入的 $2t \times 2t$ 子矩阵的行列式是否达到 $(-1,1)$-矩阵的理论最大上界。
• 通过检查其 $k\times k$ 子式在固定前 $k-1$ 行与列时是否为所有 $k\times k$ 子式中最大，来确认嵌入子矩阵的可行性。
• 证明利用了关于 $(-1,1)$-矩阵行列式谱的已知结果，以界定中间子式并确认其最大性。
• 该方法应用于 $t=5$，将 $10\times 10$ 的 D-最优设计嵌入 $20\times 20$ 的双循环 Hadamard 矩阵中，并验证其 CP 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用代数双循环运算，将 $2t \times 2t$ 的 D-最优设计嵌入阶数为 $4t$ 的双循环 Hadamard 矩阵中？
• RQ2 在与给定 Hadamard 矩阵等价的 CP 矩阵中，子矩阵在左上角出现最大行列式的条件是什么？
• RQ3 当矩阵包含 D-最优设计时，完全选主元高斯消去法中会涌现出何种选主元模式？
• RQ4 子矩阵具有最大行列式是否足以保证其可被移至某个 CP 等价矩阵的左上角？
• RQ5 子矩阵的行列式能否用于推断完全选主元高斯消去法中的选主元结构？

主要发现

• 当 $t=5$ 时，可将行列式为 $125 \cdot 2^9 = 64000$ 的 $10\times 10$ D-最优设计嵌入 $20\times 20$ 的双循环 Hadamard 矩阵中。
• 所嵌入的 $D_{10}$ 矩阵在所有 $k \leq 10$ 时均达到最大可能的 $k\times k$ 子式，证实其作为 CP 矩阵的可行性。
• 前十个主元的选主元模式 $(1,2,2,4,3,10/3,16/5,5,24/5,6)$ 在所有三类 $D_{20}$-Hadamard 矩阵中均被确认存在。
• 研究证实，子矩阵具有最大行列式的存在性意味着其可被移至某个 CP 等价矩阵的左上角，至少在 $D_{10}$ 情况下成立。
• 该方法成功将 $D_{10}$ 设计嵌入通过特定双循环矩阵 $M_{\partial_2}, M_{\partial_4}, \dots, M_{\gamma}$ 的复合构造出的 $D_{20}$-Hadamard 矩阵中。
• 所得 $20\times 20$ 矩阵 $M_\psi$ 的行列式满足 $\det(M_\psi) = 125 \cdot 2^9$，证实了子矩阵的最优性。