[论文解读] Embedding General Relativity with varying cosmological constant term in five-dimensional Brans-Dicke theory of gravity in vacuum

Luz M. Reyes, José Edgar Madriz Aguilar|ArXiv.org|Feb 27, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文提出了一种真空中的五维布兰斯-狄克理论引力，表明当五维标量场仅依赖于额外坐标时，四维广义相对论中时间可变的宇宙学常数可几何地诱导于四维超曲面上。关键结果是四维引力耦合常数和宇宙学常数源自五维几何，当第五维的尺度与哈勃长度相当之时，诱导出的宇宙学常数与观测值一致。

ABSTRACT

We investigate the possibility to recover a four-dimensional (4D) general theory of relativity, as embedded in a 5D spacetime where gravity is governed by a five-dimensional (5D) Brans-Dicke (BD) theory of gravity. Employing the Gauss-Codazzi-Ricci equations and some ideas of the induced matter theory, we obtain that when the 5D BD scalar field is only depending of the extra coordinate, it is possible to recover on every generic 4D hypersurface the usual Einstein field equations plus a cosmological constant term, with matter sources described by the energy-momentum tensor of induced matter and where the cosmological constant under certain conditions can vary with time. Finally to illustrate the formalism, we give an example in which we induced a cosmological constant from warped product spaces.

研究动机与目标

• 探索四维广义相对论中带有宇宙学常数的理论是否可从真空中的五维布兰斯-狄克引力理论中几何诱导出来。
• 研究当布兰斯-狄克标量场仅依赖于额外坐标时，四维引力耦合常数和宇宙学常数如何从高维几何中产生。
• 证明诱导出的物质和宇宙学项可重现宇宙学常数的有效状态方程，即使四维宇宙学常数随时间变化。
• 通过翘折积几何的实例，展示诱导出的四维宇宙学常数与观测估计值一致。

提出的方法

• 应用高斯-科达齐-里奇方程于一个五维时空，其中布兰斯-狄克标量场仅依赖于额外坐标，以推导出诱导出的四维场方程。
• 将五维作用量约化为四维有效作用量，表明四维牛顿常数与五维布兰斯-狄克标量场通过 $16\pi G_N = 1/\varphi(\psi_0)$ 相关联。
• 根据五维里奇曲率和标量场分布，利用诱导物质框架推导出诱导出的能量-动量张量。
• 采用翘折积度规作为具体实例，计算诱导出的四维宇宙学常数，其中 $g_{\psi\psi}$ 为额外坐标的函数。
• 计算有效状态方程参数 $\omega_{\text{eff}}$，表明当诱导物质具有 $\omega_{\text{IM}} = -1$ 时，$\omega_{\text{eff}} = -1$，与宇宙学常数一致。
• 将五维标量场 $\psi_0$ 的值约束为 $6.12 \cdot 10^{26}$ m，以匹配观测到的 $\Lambda_0 \simeq 10^{-54} \, \text{m}^{-2}$，并将其与哈勃长度关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在真空五维布兰斯-狄克引力理论中几何地嵌入具有时间可变宇宙学常数的四维广义相对论？
• RQ2 当五维布兰斯-狄克标量场仅依赖于额外坐标时，它如何导致一个包含宇宙学常数和诱导物质的四维有效理论？
• RQ3 在此嵌入框架中，五维引力耦合常数与四维牛顿常数之间有何关系？
• RQ4 诱导出的四维宇宙学常数能否与观测值匹配？这对额外维度的尺度有何含义？
• RQ5 在所得四维理论中，诱导物质和宇宙学项的有效状态方程是什么？

主要发现

• 在超曲面 $\Sigma_0: \psi = \psi_0$ 上的四维有效理论重现了带有宇宙学常数项的爱因斯坦场方程，其中物质和宇宙学常数均来自五维时空的几何诱导。
• 四维牛顿常数通过 $16\pi G_N = 1/\varphi(\psi_0)$ 诱导得出，将四维引力耦合常数与在 $\psi_0$ 处评估的五维布兰斯-狄克标量场联系起来。
• 当五维度规分量 $g_{\psi\psi}$ 为常数时，诱导出的宇宙学常数 $\Lambda_0$ 为时间无关；当 $g_{\psi\psi}$ 为时间相关时，$\Lambda(t)$ 随时间变化。
• 在翘折积几何的实例中，诱导出的四维宇宙学常数为 $\Lambda_0 = \frac{3}{8\psi_0^2}$，当设定 $\Lambda_0 \simeq 10^{-54} \, \text{m}^{-2}$ 时，可得 $\psi_0 = 6.12 \cdot 10^{26} \, \text{m}$，与哈勃长度相当。
• 有效状态方程参数为 $\omega_{\text{eff}} = -1$，表明诱导物质 ($\omega_{\text{IM}} = -1$) 与宇宙学项的联合效应可模拟纯宇宙学常数。
• 值 $\psi_0 \simeq 6.12 \cdot 10^{26} \, \text{m}$ 约为当前哈勃长度的 0.2 倍，暗示第五维的间接可观测性具有自然解释。