[论文解读] Embedding into Banach spaces with finite dimensional decompositions

Edward Odell, Thomas Schlumprecht|ArXiv.org|Jan 11, 2007

Advanced Banach Space Theory参考文献 24被引用 27

一句话总结

本文確立了在何種條件下，具有漸近結構性質的可分自反巴拿赫空間可嵌入至滿足一致 $(p,q)$-估計的具有有限維分解（FDD）之空間。本文利用 $\varepsilon$-網論證與基於樹的分解，構造了具有漸近無條件結構之自反空間類別的普遍巴拿赫空間，證明此類空間可嵌入至模型空間的 $\sigma$-有限維和中，從而得出 ${\mathcal{C}}_{\text{auc}}$ 與 ${\mathcal{C}}_{\text{aus}}$ 的可分對偶普遍空間。主要貢獻在於透過基於 FDD 的嵌入，為漸近 $\varepsilon$-結構類別提供構造性解法。

ABSTRACT

This paper deals with the following types of problems: Assume a Banach space $X$ has some property (P). Can it be embedded into some Banach space $Z$ with a finite dimensional decomposition having property (P), or more generally, having a property related to (P)? Secondly, given a class of Banach spaces, does there exist a Banach space in this class, or in a closely related one, which is universal for this class?

研究动机与目标

• 確定具有漸近結構之可分自反巴拿赫空間在何種條件下可嵌入至滿足一致 $(p,q)$-估計之有限維分解（FDD）空間。
• 透過構造單一空間，解決可分自反巴拿赫空間類別之普遍性問題。
• 利用弱無窮樹與有限余維子空間上的玩家遊戲策略，特徵化巴拿赫空間的漸近結構。
• 確立 ${\mathcal{C}}_{\text{auc}}$ 類之可分對偶普遍空間的存在性，以及 ${\mathcal{C}}_{\text{aus}}$ 類之可分對偶普遍空間的存在性。
• 將喬治夫的子空間嵌入準則（適用於 $L_p$ 空間）推廣至一般自反空間，方法為透過漸近結構與基於樹的 FDD 構造。

提出的方法

• 將漸近結構詮釋為博弈論：玩家 I 選取有限余維子空間，玩家 II 選取向量；若所得序列為 $ (1+\varepsilon) $-等價於給定基底，則玩家 II 獲勝。
• 應用第 $n$ 階漸近結構 $\{X\}_n$ 之概念，即為在該類博弈下不變的最小閉集，其元素為歸一化單調基底。
• 透過在樹 $T_\infty$ 上取 $\ell_p$-和構造模型空間 $Z_{(p,q)}$，並確保其在塊序列上滿足 $1$-$(\infty,q)$-估計，且具有相容範數。
• 在 $\ell_{p/q}$ 中使用巧妙的反向三角不等式論證，以 $\ell_q$-範數界 Bounds 塊序列的範數。
• 利用模型空間 $Z_{(n,1)}$ 與 $Z_{q_n}$ 的 $\ell_2$-和，分別構造 ${\mathcal{C}}_{\text{auc}}$ 與 ${\mathcal{C}}_{\text{aus}}$ 的普遍空間 $X$ 與 $Y$。
• 應用 [OSZ] 中的定理，證明對任意 $K<\infty$ 與 $1\leq p\leq\infty$，存在一自反漸近 $\ell_p$ 空間，為所有 $K$-漸近 $\ell_p$ 空間的普遍空間。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，具有給定漸近結構之可分自反巴拿赫空間可嵌入至滿足 $C$-$(p,q)$-估計之有限維分解空間？
• RQ2 能否為所有具有等價漸近一致強凸（a.u.c.）範數之可分自反空間類別構造一普遍巴拿赫空間？
• RQ3 若玩家 II 在有限余維子空間上的 $n$-步博弈中擁有獲勝策略，是否可特徵化其屬於某巴拿赫空間之第 $n$ 階漸近結構？
• RQ4 是否存在一可分對偶空間，為所有具有等價 a.u.c. 範數之可分自反空間類 ${\mathcal{C}}_{\text{auc}}$ 的普遍空間？
• RQ5 是否存在一自反空間，為所有 $K$-漸近 $\ell_p$ 空間的普遍空間？其構造方式為何？

主要发现

• 存在一可分對偶空間 $X = \big(\oplus_{n=2}^\infty Z_{(n,1)}\big)_{\ell_2}$，其為所有具有等價 a.u.c. 範數之可分自反空間類 ${\mathcal{C}}_{\text{auc}}$ 的普遍空間。
• 空間 $X$ 為 $Z_{(n,1)}$ 的 $\ell_2$-和，其中每一 $Z_{(n,1)}$ 均具備有界完全 FDD，滿足 $1$-$(n,1)$-估計，且為所有在 ${\mathcal{C}}_{\text{auc}}$ 中具有 $(n,1)$-估計之空間的普遍空間。
• 存在一具有可分對偶之空間 $Y = \big(\oplus_{n=1}^\infty Z_{q_n}\big)_{\ell_2}$，其為所有具有等價漸近一致光滑（a.u.s.）範數之可分自反空間類 ${\mathcal{C}}_{\text{aus}}$ 的普遍空間。
• 空間 $Y$ 滿足 $S_z(Y) = \omega^2$，顯示其漸近指數高於 $X$（$S_z(X^*) = \omega$），反映出 a.u.c. 與 a.u.s. 結構之間的對偶性。
• 該構造證明：對任意 $K<\infty$ 與 $1\leq p\leq\infty$，存在一自反漸近 $\ell_p$ 空間，為所有 $K$-漸近 $\ell_p$ 空間的普遍空間，推廣了先前結果。
• 使用基於樹的塊分解與 $1$-$(\infty,q)$-估計之證明技巧，可透過 $\ell_{p/q}$ 中的反向三角不等式，由 $\ell_p$-範數推導出 $\ell_q$-範數界，進而實現塊序列嵌入至目標空間。