[论文解读] Embedding of a maximal curve in a Hermitian variety

Gábor Korchmáros, Fernando Torres|ArXiv.org|Nov 8, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文证明了在有限域 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的每个 F-极大曲线都与一个嵌入在射影空间 $\mathbb{P}^M$ 中的非奇异曲线 $F$-同构，该曲线位于某个非退化的赫尔米特曲面内，其中 $M \leq N$，且 $N = \dim |(q+1)P_0|$。关键结果表明，此类曲线在几何上等价于位于赫尔米特曲面上的曲线，且其自同构群嵌入于射影酉群 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$ 中，从而通过赫尔米特嵌入对极大曲线提供了完整的几何刻画。

ABSTRACT

Let X be a projective geometrically irreducible non-singular algebraic curve defined over a finite field F of order $q^2$. If the number of F-rational points of X satisfies the Hasse-Weil upper bound, then X is said to be F-maximal. For a point P_0\in X(F), let πbe the morphism arising from the linear series D:=|(q+1)P_0|, and let N:=dim(D). It is known that N\ge 2 and that πis independent of P_0 whenever X is F-maximal. The following theorems will be proved: Theorem 0.1: If X is F-maximal, then π:X o π(X) is a F-isomorphism. The non-singular model π(X) has degree q+1 and lies on a Hermitian variety defined over F of P^N(\bar F); Theorem 0.2: If X is F-maximal, then it is F-isomorphic to a curve Y in P^M(\bar F), with 2\le M\le N, such that Y has degree q+1 and lies on a non-degenerate Hermitian variety defined over F of ¶^M(\bar F). Furthermore, Aut_F(X) is isomorphic to a subgroup of the projective unitary group PGU(M+1,q^2); Theorem 0.3: If X is F-birational to a curve Y embedded in P^M(\bar F) such that Y has degree q+1 and lies on a non-degenerate Hermitian variety defined over F of P^M(\bar F), then X is F-maximal and X is F-isomorphic to Y.

研究动机与目标

• 通过赫尔米特曲面上的几何嵌入来刻画有限域 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的 F-极大曲线。
• 确定曲线 $F$-同构于位于非退化赫尔米特曲面上的曲线的条件。
• 建立极大曲线的自同构群与射影酉群 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$ 的子群之间的对应关系。

提出的方法

• 使用曲线 $X$ 上有理点 $P_0$ 的线性系统 $D = |(q+1)P_0|$，定义一个态射 $\pi: X \to \pi(X)$。
• 分析像 $\pi(X)$ 的次数和维数 $N = \dim D$，证明其次数为 $q+1$。
• 证明 $\pi(X)$ 位于 $\mathbb{P}^N(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$ 中定义在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的赫尔米特曲面上。
• 证明当 $X$ 是 F-极大时，态射 $\pi$ 是一个 $F$-同构。
• 构造一个从 $X$ 到 $\mathbb{P}^M(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$ 的嵌入（其中 $2 \leq M \leq N$），使得像位于一个非退化的赫尔米特曲面上。
• 利用自同构群 $\mathrm{Aut}_F(X)$ 的结构，证明其嵌入于 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$ 中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，一个 F-极大曲线 $F$-同构于射影空间中位于赫尔米特曲面上的曲线？
• RQ2 每个 F-极大曲线是否都能作为 $q+1$ 次非奇异曲线嵌入在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上定义的非退化赫尔米特曲面上？
• RQ3 F-极大曲线的自同构群如何与射影酉群 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$ 相关联？
• RQ4 当 $X$ 是 F-极大时，由 $|(q+1)P_0|$ 导出的态射 $\pi: X \to \pi(X)$ 是否为 $F$-同构？
• RQ5 使得 F-极大曲线能嵌入在 $\mathbb{P}^M(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$ 中非退化赫尔米特曲面上的最小维数 $M$ 是多少？

主要发现

• 当 $X$ 是 F-极大时，态射 $\pi: X \to \pi(X)$ 是 $F$-同构，且 $\pi(X)$ 的次数为 $q+1$。
• 像 $\pi(X)$ 位于 $\mathbb{P}^N(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$ 中定义在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的赫尔米特曲面上，其中 $N = \dim |(q+1)P_0|$。
• 每个 F-极大曲线 $X$ 都 $F$-同构于一个位于 $\mathbb{P}^M(\bar{\mathbb{F}}_{q^2})$ 中非退化赫尔米特曲面上的 $q+1$ 次曲线 $Y$，其中 $M$ 满足 $2 \leq M \leq N$。
• 自同构群 $\mathrm{Aut}_F(X)$ 同构于射影酉群 $\mathrm{PGU}(M+1,q^2)$ 的一个子群。
• 若曲线 $X$ 与一个位于 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上非退化赫尔米特曲面上的 $q+1$ 次曲线 $Y$ 是 $F$-有理等价的，则 $X$ 是 $F$-极大且 $F$-同构于 $Y$，从而建立了嵌入结果的逆定理。