[论文解读] Embedding subsets of tori Properly into $\CC^2$

Erlend Fornæss Wold|ArXiv.org|Feb 20, 2006

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文证明了，任何在环面 $ \mathbb{T} $ 中具有有限多个边界分量（且无任何边界分量为点）的区域 $ U $，均可在 $ \mathbb{C}^2 $ 中实现为适当的全纯嵌入。证明结合了在补集分量附近使用奇异剪切的扰动技术，以及对连续圆子集族应用的布劳威尔不动点定理，从而确立了此类区域为 Runge 域，且其全纯函数代数为双生成的。

ABSTRACT

Let $\TT$ be a torus. We prove that all subsets of $\TT$ with finitely many boundary components (none of them being points) embed properly into $\CC^2$.

研究动机与目标

• 建立具有有限多个边界分量的开黎曼曲面在 $ \mathbb{C}^2 $ 中的适当全纯嵌入的存在性。
• 解决关于所有开黎曼曲面是否均可嵌入 $ \mathbb{C}^2 $ 的开放问题，特别是针对亏格为 1 的曲面。
• 证明此类区域上全纯函数代数 $ \mathcal{O}(U) $ 为 2-生成。
• 通过一致化和连续圆子集族，将平面区域的扰动技术扩展至基于环面的区域。

提出的方法

• 构造一个在 $ \mathbb{C}^2 $ 中与 $ \phi(U) $ 的像横截的局部奇异剪切映射，将奇点置于 $ \phi(U) $ 的补集分量内部，以变形 $ \phi(U) $ 成为一个 Runge 域。
• 利用环面子集的一致化，将每个区域 $ U $ 与 $ \mathbb{R}^N $ 中的一个点对应，参数化复结构和边界数据（中心与半径）。
• 定义从 $ \mathbb{R}^N $ 中一个球到其自身的连续映射 $ \psi $，将每个圆子集关联至一个经扰动后可适当嵌入 $ \mathbb{C}^2 $ 的区域，利用 [9] 和 [19] 中的扰动结果。
• 对映射 $ \psi $ 应用布劳威尔不动点定理，确保原区域 $ U $ 位于像集中，从而保证其适当嵌入的可能性。
• 通过涉及纤维化嵌入和 $ \mathbb{C}^2 $ 中 Runge 域 $ N \subset \mathbb{C}^2 $ 的构造，确立 $ U $ 的像在 $ \mathbb{C}^2 $ 中的多项式凸性。
• 利用存在一个 Stein 且 Runge 的区域 $ N \subset \mathbb{C}^2 $ 包含像集的事实，确保小扰动保持多项式凸性，并允许构造出所需的嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有有限多个边界分量（无任何边界分量为点）的区域 $ U \subset \mathbb{T} $ 是否均可适当嵌入 $ \mathbb{C}^2 $？
• RQ2 此类区域 $ U \subset \mathbb{T} $ 上的全纯函数代数 $ \mathcal{O}(U) $ 是否为 2-生成？
• RQ3 能否通过 $ \mathbb{C}^2 $ 中 Runge 域的小扰动来逼近原区域 $ U $，并由此推断 $ U $ 的适当嵌入性？
• RQ4 一致化参数（复结构和边界数据）对区域的连续依赖性是否允许通过布劳威尔不动点定理确保嵌入性？
• RQ5 在何种条件下，闭黎曼曲面 $ \mathcal{R} $ 上的区域 $ U \subset \mathcal{R} $ 的像在 $ \mathbb{C}^2 $ 中为多项式凸？

主要发现

• 所有具有有限多个边界分量（无任何边界分量为点）的区域 $ U \subset \mathbb{T} $ 均可适当全纯嵌入 $ \mathbb{C}^2 $。
• 此类区域 $ U \subset \mathbb{T} $ 上的全纯函数代数 $ \mathcal{O}(U) $ 为 2-生成。
• 对于任意具有非空内部边界分量的区域 $ U \subset \mathbb{T} $，其函数代数 $ \mathcal{O}(U) $ 为双生成。
• 通过嵌入得到的 $ U $ 的像可在 $ \mathbb{C}^2 $ 中被构造为多项式凸集，从而保证存在一个包含它的 Runge 域。
• 证明中使用的扰动方法确保了 $ U $ 向环面圆子集的小形变可被连续映射至 $ \mathbb{C}^2 $，且原区域 $ U $ 位于连续映射 $ \psi $ 的像中。
• 对一致化区域参数空间 $ \mathbb{R}^N $ 应用布劳威尔不动点定理，可保证原区域 $ U $ 位于嵌入构造的像集中。