[论文解读] Embeddings between weighted complementary local Morrey-type spaces and weighted local Morrey-type spaces

Амиран Гогатишвили, Rza Mustafayev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文建立了加权互补局部Morrey型空间与加权局部Morrey型空间之间嵌入最优常数的精确双边估计。通过将问题约化为迭代Hardy型不等式，并应用对偶性与外推技术，作者们以基础权重和参数表示了嵌入常数的显式刻画。

ABSTRACT

In this paper embeddings between weighted complementary local Morrey-type spaces ${\,^{^{\bf c}}\!}LM_{pθ,ω}({\mathbb R}^n,v)$ and weighted local Morrey-type spaces $LM_{pθ,ω}({\mathbb R}^n,v)$ are characterized. In particular, two-sided estimates of the optimal constant $c$ in the inequality \begin{equation*} \bigg( \int_0^{\infty} \bigg( \int_{B(0,t)} f(x)^{p_2}v_2(x)\,dx \bigg)^{\frac{q_2}{p_2}} u_2(t)\,dt\bigg)^{\frac{1}{q_2}} \le c \bigg( \int_0^{\infty} \bigg( \int_{\,^{^{\bf c}\!}B(0,t)} f(x)^{p_1} v_1(x)\,dx\bigg)^{\frac{q_1}{p_1}} u_1(t)\,dt\bigg)^{\frac{1}{q_1}} \end{equation*} are obtained, where $p_1,\,p_2,\,q_1,\,q_2 \in (0,\infty)$, $p_2 \le q_2$ and $u_1,\,u_2$ and $v_1,\,v_2$ are weights on $(0,\infty)$ and ${\mathbb R}^n$, respectively. The proof is based on the combination of duality techniques with estimates of optimal constants of the embeddings between weighted local Morrey-type and complementary local Morrey-type spaces and weighted Lebesgue spaces, which reduce the problem to the solutions of the iterated Hardy-type inequalities.

研究动机与目标

• 刻画加权互补局部Morrey型空间与加权局部Morrey型空间之间嵌入算子有界的条件。
• 以涉及的权重和参数为变量，推导最优嵌入常数的精确双边估计。
• 将Morrey型空间之间嵌入问题约化为迭代Hardy型不等式的研究。
• 利用对偶性与外推技术，建立嵌入算子有界的必要与充分条件。

提出的方法

• 利用对偶技术将嵌入问题与加权Lebesgue空间上伴随算子有界性联系起来。
• 通过已知的加权不等式结果，将嵌入问题约化为刻画迭代Hardy型算子有界性的条件。
• 应用加权Lebesgue空间理论与迭代Hardy不等式，推导最优嵌入常数的显式表达式。
• 利用Hardy算子 $ H^* $ 及其在加权Lebesgue空间中的范数估计，分析嵌入常数。
• 使用范数等价关系 $ igraceVert f igraceVert_{ ext{space}} = igraceVert igraceVert f igraceVert_{L_p(v, B(0,r))} igraceVert_{L_ heta( ext{weight}, (0,ty))} $ 定义Morrey型范数。
• 应用已知的加权Lebesgue空间中 $ H^* $ 有界性的刻画，推导出嵌入常数的最终估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 加权互补局部Morrey型空间到加权局部Morrey型空间的嵌入有界，其必要与充分条件是什么？
• RQ2 如何以权重和参数为变量，显式刻画这些空间之间最优嵌入常数？
• RQ3 参数 $ p_1, p_2, heta_1, heta_2 $ 以及权重 $ v_1, v_2, ho_1, ho_2 $ 如何影响嵌入的有界性？
• RQ4 Morrey型空间嵌入问题如何约化为迭代Hardy型不等式的研究？
• RQ5 对偶性在刻画此类嵌入中最优常数时起到什么作用？

主要发现

• 最优嵌入常数 $ igraceVert ext{Id} igraceVert_{ ext{embedding}} $ 与 $ igraceVert igraceVert igraceVert ext{Id} igraceVert_{ ext{dual}} igraceVert $ 等价，其中对偶形式通过Hardy算子 $ H^* $ 表达。
• 当 $ heta_1 \neq \theta_2 $ 时，最优常数由两项 $ C_3 $ 与 $ C_4 $ 表征，其中 $ C_3 $ 依赖于 $ \rho_1 $ 的全局 $ L^\theta $ 范数，而 $ C_4 $ 涉及更复杂的积分表达式。
• 当 $ \theta_1 \to \theta_2 $ 时，$ C_4 $ 的表达式简化，其行为由 $ \tilde{V}(t) $（即 $ v_2 $ 的加权积分）与 $ \rho_1 $-范数的递减性决定。
• 嵌入常数显式表示为 $ \big\braceVert \text{Id} \big\braceVert \thickapprox \big\braceVert \rho_2 \big\braceVert_{\theta_2, (t,\infty)} \big\braceVert \big\braceVert \rho_1^{-1} \big\braceVert_{\theta_1, (0,|x|)} \big\braceVert_{\text{ess sup}, v_1^{-1}v_2, B(0,t)} $，显示出对径向权重与范数的依赖性。
• 结果是精确的，并将已知的Hardy型不等式刻画推广至Morrey型空间设定，为给定参数约束下的嵌入问题提供了完整解法。