[论文解读] Embeddings of Decomposition Spaces into Sobolev and BV Spaces

Felix Voigtlaender|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文为分解空间到索伯列夫空间与变差总变分（BV）空间的嵌入建立了精确且完整的刻画。它提供了明确且可计算的条件——基于覆盖几何与序列空间权重——使得 $\pi(\mathcal{Q},L^p,Y) \hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$ 成立，且在 $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$ 时达到完全等价，并通过 $W^{1,1}$ 扩展至 BV 空间的嵌入。

ABSTRACT

In the present paper, we investigate whether an embedding of a decomposition space $\mathcal{D}\left(\mathcal{Q},L^{p},Y ight)$ into a given Sobolev space $W^{k,q}(\mathbb{R}^{d})$ exists. As special cases, this includes embeddings into Sobolev spaces of (homogeneous and inhomogeneous) Besov spaces, ($α$)-modulation spaces, shearlet smoothness spaces and also of a large class of wavelet coorbit spaces, in particular of shearlet-type coorbit spaces. Precisely, we will show that under extremely mild assumptions on the covering $\mathcal{Q}=\left(Q_{i} ight)_{i\in I}$, we have $\mathcal{D}\left(\mathcal{Q},L^{p},Y ight)\hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^{d})$ as soon as $p\leq q$ and $Y\hookrightarrow\ell_{u^{\left(k,p,q ight)}}^{q^{ riangledown}}\left(I ight)$ hold. Here, $q^{ riangledown}=\min\left\{ q,q' ight\} $ and the weight $u^{\left(k,p,q ight)}$ can be easily computed, only based on the covering $\mathcal{Q}$ and on the parameters $k,p,q$. Conversely, a necessary condition for existence of the embedding is that $p\leq q$ and $Y\cap\ell_{0}\left(I ight)\hookrightarrow\ell_{u^{\left(k,p,q ight)}}^{q}\left(I ight)$ hold, where $\ell_{0}\left(I ight)$ denotes the space of finitely supported sequences on $I$. All in all, for the range $q \in (0,2]\cup\{\infty\}$, we obtain a complete characterization of existence of the embedding in terms of readily verifiable criteria. We can also completely characterize existence of an embedding of a decomposition space into a BV space.

研究动机与目标

• 为分解空间到索伯列夫空间 $W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$ 的嵌入提供完整且精确的刻画。
• 统一并推广现有关于贝索夫空间、调制空间、多尺度剪切波与共轨空间嵌入结果的研究。
• 建立嵌入到 BV 空间的必要与充分条件，通过与嵌入到 $W^{1,1}$ 的等价性实现。
• 当 $Y = \ell_v^r(I)$ 时，将嵌入条件的验证简化为初等微积分运算，避免使用傅里叶分析。

提出的方法

• 通过频率覆盖 $\mathcal{Q} = (Q_i)_{i \in I}$ 与序列空间 $Y \leq \mathbb{C}^I$ 定义分解空间 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y)$。
• 引入一个由覆盖 $\mathcal{Q}$ 与参数 $k,p,q$ 决定的权重 $u^{(k,p,q)}$，该权重控制嵌入行为。
• 证明嵌入 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y) \hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$ 当且仅当 $p \leq q$ 且 $Y \hookrightarrow \ell_{u^{(k,p,q)}}^{q^\triangledown}(I)$，其中 $q^\triangledown = \min\{q, q'\}$。
• 证明当 $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$ 时，条件 $Y \hookrightarrow \ell_{u^{(k,p,q)}}^{q^\triangledown}(I)$ 为必要且充分，从而实现完全刻画。
• 当 $Y = \ell_v^r(I)$ 时，将嵌入条件简化为 $\frac{u}{v} \in \ell^{s \cdot (r/s)'}(I)$，从而实现基于微积分的验证。
• 利用共轨空间同构关系 $\mathrm{Co}(L_v^{p,q}(\mathbb{R}^d \rtimes H)) \cong \mathcal{D}(\mathcal{Q}_H, L^p, \ell_u^q)$，将结果推广至小波与剪切波共轨空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，分解空间 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y)$ 嵌入到索伯列夫空间 $W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$？
• RQ2 能否对 $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$ 的情形，完全刻画 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y)$ 到 $W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$ 的嵌入？
• RQ3 在什么条件下，分解空间嵌入到 $k$ 阶连续可微有界函数空间 $C_b^k(\mathbb{R}^d)$？
• RQ4 嵌入到 BV 空间与嵌入到 $W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$ 之间存在何种关系？
• RQ5 当 $Y = \ell_v^r(I)$ 时，如何将嵌入条件简化为纯粹点态的、基于微积分的判别方法？

主要发现

• 嵌入 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y) \hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$ 成立当且仅当 $p \leq q$ 且 $Y \hookrightarrow \ell_{u^{(k,p,q)}}^{q^\triangledown}(I)$，其中 $q^\triangledown = \min\{q, q'\}$。
• 当 $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$ 时，条件 $Y \hookrightarrow \ell_{u^{(k,p,q)}}^{q^\triangledown}(I)$ 为必要且充分，从而实现完全刻画。
• 嵌入 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y) \hookrightarrow W^{k,\infty}(\mathbb{R}^d)$ 等价于嵌入到 $C_b^k(\mathbb{R}^d)$。
• 分解空间嵌入到 BV 当且仅当其嵌入到 $W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$。
• 当 $Y = \ell_v^r(I)$ 时，条件 $Y \hookrightarrow \ell_u^s(I)$ 简化为 $\frac{u}{v} \in \ell^{s \cdot (r/s)'}(I)$，从而实现无需傅里叶分析的初等验证。
• 该准则对 $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$ 是精确的，且在剪切波型共轨空间与对角群共轨空间中依然具有高度有效性。