[论文解读] Embeddings of Demi-Normal Varieties

Jeremy Berquist|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文证明了任意准射影的对偶正规代数簇均可嵌入到一个射影的对偶正规代数簇中，从而通过嵌入与消解技术，将关键的对偶性定理——特别是半光滑的Grauert-Riemenschneider消去定理，以及半有理奇点的半消解独立性——从射影情形推广到准射影情形。

ABSTRACT

Our primary result is that a demi-normal quasi-projective variety can be embedded in a demi-normal projective variety. Recall that a demi-normal variety $X$ is a variety with properties $S_2$, $G_1$, and seminormality. Equivalently, $X$ has Serre's $S_2$ property and there is an open subvariety $U$ with complement of codimension at least 2 in $X$, such that the only singularities of $U$ are (analytically) double normal crossings. The term demi-normal was coined by Kollár in \cite{Kol13}. As a consequence of this embedding theorem, we prove a semi-smooth Grauert-Riemenschneider vanishing theorem for quasi-projective varieties, the projective case having been settled in \cite{Berq14}. The original form of this vanishing result appears in \cite{GR70}. We prove an analogous result for semi-rational singularities. The definition of semi-rationality requires that the choice of a semi-resolution is immaterial. This also has been established in the projective case in \cite{Berq14}. The analogous result for quasi-projective varieties is settled here. Semi-rational surface singularities have also been studied in \cite{vS87}.

研究动机与目标

• 将半光滑Grauert-Riemenschneider消去定理从射影情形推广到准射影对偶正规代数簇。
• 在准射影对偶正规代数簇中，确立半有理奇点定义中半消解选择的独立性。
• 提供一个基础性的嵌入结果，使对偶性定理可在准射影情形下成立。
• 通过构造性方法，将[2]（射影情形）的结果推广到更广泛的准射影情形。

提出的方法

• 通过S2化与拟正规化构造准射影对偶正规代数簇的射影紧化，以保持关键奇点性质。
• 应用普遍上积构造，以确保在余维一处保持Gorenstein性质。
• 通过一系列的爆破与有限双有理态射构造一个射影的、对偶正规的紧化。
• 借助射影情形下已知的消去定理，通过将准射影代数簇嵌入射影对偶正规环境空间，实现结果的转移。
• 在紧化后的代数簇上构造一个半消解，其限制即为原代数簇上的半消解。
• 应用对偶性与基变换，将消去结果从射影情形转移到准射影情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个准射影对偶正规代数簇是否都能嵌入到一个射影对偶正规代数簇中？
• RQ2 半光滑Grauert-Riemenschneider消去定理是否对准射影对偶正规代数簇成立？
• RQ3 在准射影情形下，半有理奇点的定义是否与半消解的选择无关？
• RQ4 射影情形下关于半有理奇点的结果能否推广到准射影情形？
• RQ5 是否存在一种通用方法，可对准射影对偶正规代数簇进行紧化，同时保持其奇点结构？

主要发现

• 准射影对偶正规代数簇 admits 一个同样是对偶正规的射影紧化，从而确立了一个关键的嵌入定理。
• 半光滑Grauert-Riemenschneider消去定理对准射影对偶正规代数簇成立，将此前仅在射影情形下成立的结果予以推广。
• 在准射影对偶正规代数簇上，半消解下典范层的高阶直接像在正度数上消失。
• 半有理奇点的定义在准射影对偶正规代数簇中与半消解的选择无关。
• 该嵌入结果使得通过对偶性与基变换和限制，可将射影情形下的对偶性定理转移至准射影情形。
• 射影对偶正规紧化的构造依赖于S2化、拟正规化与普遍上积，以保持所需的奇点与上同调性质。