[论文解读] Embeddings of discrete groups and the speed of random walks

Assaf Naor, Yuval Peres|ArXiv.org|Aug 7, 2007

Geometric and Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文建立了离散群在具有幂型光滑性的巴拿赫空间中等变压缩指数的精确上界，将其与群上随机游走的速度联系起来。证明了对于具有幂型光滑模的巴拿赫空间 $X$，等变希尔伯特压缩指数满足 $\alpha^{ olimits\#}_{X}(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$，其中 $\beta^{*}(G)$ 衡量简单随机游走在群上的期望距离的增长率。该结果解决了Tessera提出的一个问题，并推广了Guentner和Kaminker的结果。

ABSTRACT

For a finitely generated group G and a banach space X let α^*_X(G) (respectively α^#_X(G)) be the supremum over all α\ge 0 such that there exists a Lipschitz mapping (respectively an equivariant mapping) f:G o X and c>0 such that for all x,y\in G we have \|f(x)-f(y)\|\ge c\cdot d_G(x,y)^α. In particular, the Hilbert compression exponent (respectively the equivariant Hilbert compression exponent) of G is α^*(G)=α^*_{L_2}(G) (respectively α^#(G)= α_{L_2}^#(G)). We show that if X has modulus of smoothness of power type p, then α^#_X(G)\le \frac{1}{pβ^*(G)}. Here β^*(G) is the largest β\ge 0 for which there exists a set of generators S of G and c>0 such that for all t\in \N we have \E\big[d_G(W_t,e)\big]\ge ct^β, where \{W_t\}_{t=0}^\infty is the canonical simple random walk on the Cayley graph of G determined by S, starting at the identity element. This result is sharp when X=L_p, generalizes a theorem of Guentner and Kaminker and answers a question posed by Tessera. We also show that if α^*(G)\ge 1/2 then α^*(G\bwr \Z)\ge \frac{2α^*(G)}{2α^*(G)+1}. This improves the previous bound due to Stalder and ValetteWe deduce that if we write \Z_{(1)}= \Z and \Z_{(k+1)}\coloneqq \Z_{(k)}\bwr \Z then α^*(\Z_{(k)})=\frac{1}{2-2^{1-k}}, and use this result to answer a question posed by Tessera in on the relation between the Hilbert compression exponent and the isoperimetric profile of the balls in G. We also show that the cyclic lamplighter groups C_2\bwr C_n embed into L_1 with uniformly bounded distortion, answering a question posed by Lee, Naor and Peres. Finally, we use these results to show that edge Markov type need not imply Enflo type.

研究动机与目标

• 建立有限生成群在具有幂型光滑性的巴拿赫空间中等变压缩指数的精确上界。
• 将群上随机游走的速度与其在巴拿赫空间中的几何嵌入性质联系起来。
• 解决关于毛毯灯群希尔伯特压缩指数以及马尔可夫类型与恩夫洛类型的关联的开放问题。
• 研究迭代毛毯灯群 $\mathbb{Z}_{(k)} = \mathbb{Z}_{(k-1)} \wr \mathbb{Z}$ 的希尔伯特压缩指数的精确值。

提出的方法

• 将 $\alpha^{\#}_{X}(G)$ 定义为满足存在等变利普希茨嵌入 $f: G \to X$ 且 $\|f(x)-f(y)\| \geq c \cdot d_G(x,y)^\alpha$ 的所有 $\alpha \geq 0$ 的上确界。
• 将 $\beta^{*}(G)$ 定义为最大的 $\beta \geq 0$，使得在群的凯莱图上的简单随机游走 $\{W_t\}$，其期望距离 $\mathbb{E}[d_G(W_t,e)]$ 至少以 $ct^\beta$ 的速度增长。
• 利用目标巴拿赫空间 $X$ 的幂型 $p$ 光滑模，推导出不等式 $\alpha^{\#}_{X}(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$，推广了先前的结果。
• 将该不等式应用于 $L_p$ 空间，证明 $\alpha^{\#}_p(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$，并在 $X = L_p$ 的情况下证明其紧致性。
• 利用该界推导出迭代毛毯灯群的希尔伯特压缩指数的精确值：$\alpha^{*}(\mathbb{Z}_{(k)}) = \frac{1}{2 - 2^{1-k}}$。
• 利用该结果证明循环毛毯灯群 $C_2 \wr C_n$ 嵌入 $L_1$ 时具有统一有界的畸变，回答了Lee、Naor和Peres提出的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有有限生成群 $G$ 和具有幂型光滑模 $p$ 的巴拿赫空间 $X$，不等式 $\alpha^{\#}_{X}(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ 是否成立？
• RQ2 是否对所有有限生成的可约群 $G$，都有 $\alpha^{*}(G \wr \mathbb{Z}) = \frac{2\alpha^{*}(G)}{2\alpha^{*}(G) + 1}$ 成立？
• RQ3 每个有限生成的可约群 $G$ 是否都满足 $\alpha^{*}(G) \geq \frac{1}{2}$？
• RQ4 边马尔可夫类型 2 是否能推出某个 $p > 1$ 的恩夫洛类型 $p$？
• RQ5 是否存在一个有限生成群，其具有边马尔可夫类型 2，但对任意 $p > 1$ 都不具有恩夫洛类型 $p$？

主要发现

• 本文建立了对于任意具有幂型光滑模 $p$ 的巴拿赫空间 $X$，有 $\alpha^{\#}_{X}(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ 的精确上界，推广了Guentner和Kaminker的结果。
• 当 $X = L_p$ 时，不等式 $\alpha^{\#}_p(G) \leq \frac{1}{p\beta^{*}(G)}$ 是紧致的，且在某些情况下可取等。
• 迭代毛毯灯群 $\mathbb{Z}_{(k)} = \mathbb{Z}_{(k-1)} \wr \mathbb{Z}$ 的希尔伯特压缩指数恰好为 $\alpha^{*}(\mathbb{Z}_{(k)}) = \frac{1}{2 - 2^{1-k}}$，解决了Tessera提出的问题。
• 循环毛毯灯群 $C_2 \wr C_n$ 嵌入 $L_1$ 时具有统一有界的畸变，回答了Lee、Naor和Peres提出的问题。
• 该结果表明边马尔可夫类型 2 并不蕴含任何 $p > 1$ 的恩夫洛类型 $p$，为一个自然猜想提供了反例。
• 对于 $1 < p < 2$，本文给出了 $\alpha^{*}_p(\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z})$ 的界，即 $\frac{p}{2p-1} \leq \alpha^{*}_p(\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z}) \leq \min\left\{\frac{p+1}{2p}, \frac{4}{3p}\right\}$。