[论文解读] Embeddings of fields in simple algebras over global fields

Sheng-Chi Shih, Tse-Chung Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2011

Advanced Topics in Algebra被引用 5

一句话总结

本文研究了有限域扩张嵌入全局域上中心单代数的局部-整体原则。它建立了 $F$-线性嵌入 $K$ 到 $A$ 的存在性的数值准则，证明当 $[K:F] < \deg A$ 时，Hasse 原理一般不成立，并利用容量和 Brauer 群不变量在全局域上构造了显式反例。

ABSTRACT

Let $F$ be a global field, $A$ a central simple algebra over $F$ and $K$ a finite (separable or not) field extension of $F$ with degree $[K:F]$ dividing the degree of $A$ over $F$. An embedding of $K$ in $A$ over $F$ exists implies an embedding exists locally everywhere. In this paper we give detailed discussions when the converse (i.e. the local-global principle in question) may hold.

研究动机与目标

• 确定有限域扩张 $K$ 到全局域 $F$ 上中心单代数 $A$ 的 $F$-线性嵌入存在的充要条件。
• 分析 $F$ 的每个素位 $v$ 处的局部嵌入问题，刻画 $K_v$ 在 $F_v$ 上嵌入 $A_v$ 的条件。
• 研究局部嵌入条件（即对所有素位 $v$，有 $K_v \hookrightarrow A_v$）是否蕴含全局嵌入 $K \hookrightarrow A$。
• 构造显式反例，说明在全局域上的中心单代数中，非极大子域嵌入的 Hasse 原理可能失效。
• 提供一个涉及 $\Delta \otimes_F K$ 的容量和 Brauer 群中局部不变量的数值准则，以判断全局嵌入的存在性。

提出的方法

• 改编 [23] 中关于半单代数嵌入的结果，推导出 $K$ 到 $A$ 的 $F$-嵌入的数值准则。
• 利用分解 $A \cong \mathrm{Mat}_n(\Delta)$，其中 $\Delta$ 是除法代数且 $n = \mathrm{c}(A)$，将问题约化为 $\Delta \otimes_F K$ 的容量。
• 应用 Hasse-Brauer-Noether 定理，计算 $\Delta$ 的次数 $\delta_0$ 为局部指标 $d_v$ 的最小公倍数。
• 通过方程组 $\sum_{w|v} \ell_w x_w = \mathrm{c}(A_v)$ 的整数解系统，刻画 $F_v$-嵌入 $K_v$ 到 $A_v$ 的 $A_v^\times$-共轭类集合，其中 $\ell_w = [K_w:F_v]/\gcd([K_w:F_v], \deg \Delta)$。
• 应用伽罗瓦上同调和李群的齐性空间理论，将 Hasse 原理问题约化为 $H^2(F, Z)$ 中障碍类的消失。
• 利用 Hilbert 90 定理和 Brauer 群的 Hasse 原理，证明在 $\mathrm{ind}_{K_i}(A_i) \mid m_i$ 条件下，障碍类的局部平凡性蕴含其全局平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，一个有限域扩张 $K$ 在全局域 $F$ 上允许 $F$-线性嵌入到 $F$ 上的中心单代数 $A$ 中？
• RQ2 当对 $F$ 的所有素位 $v$ 都有 $K_v \hookrightarrow A_v$ 时，是否能推出全局嵌入 $K \hookrightarrow A$？
• RQ3 当 $[K:F] < \deg A$ 时，嵌入的 Hasse 原理是否可能失效？若失效，其条件是什么？
• RQ4 以 $\Delta \otimes_F K$ 的容量表示的 $F$-线性嵌入 $K$ 到 $A$ 的存在性的精确数值准则为何？
• RQ5 $F_v$ 上 Brauer 群中的局部不变量如何影响全局嵌入问题？

主要发现

• 当且仅当 $[K:F]$ 整除 $n \cdot \mathrm{c}(\Delta \otimes_F K)$ 时，存在 $F$-嵌入 $K$ 到 $A$，其中 $n = \mathrm{c}(A)$，且 $\mathrm{c}(\Delta \otimes_F K)$ 是 $K$ 上中心单代数 $\Delta \otimes_F K$ 的容量。
• $A_v^\times$-共轭类的 $F_v$-嵌入 $K_v$ 到 $A_v$ 的集合与满足 $\sum_{w|v} \ell_w x_w = \mathrm{c}(A_v)$ 的非负整数元组 $(x_w)_{w|v}$ 的集合之间存在双射，其中 $\ell_w = [K_w:F_v]/\gcd([K_w:F_v], \deg \Delta)$。
• 当 $[K:F] < \deg A$ 时，嵌入的 Hasse 原理一般不成立；具体而言，本文构造了一个 8 次的伽罗瓦扩张 $K/F$ 和一个 24 次的中心单代数 $A/F$，使得在所有局部位置都存在嵌入，但不存在全局嵌入。
• 嵌入问题的 Hasse 原理成立当且仅当 $H^2(F, Z)$ 中的障碍类消失，这等价于对所有 $i$，有 $\mathrm{ind}_{K_i}(A_i) \mid m_i$，其中 $A_i$ 是 $K_i$ 上的中心单代数。
• $\Delta$ 的次数 $\delta_0$ 是 $F$ 的所有素位 $v$ 上局部指标 $d_v = \mathrm{ind}(A_v)$ 的最小公倍数，根据 Hasse-Brauer-Noether 定理。
• 应用了在李群上的齐性空间的 Hasse 原理，表明若障碍类消失，则局部有理点蕴含全局有理点，这等价于在 $K_i$ 上的嵌入条件。