[论文解读] Emergence of Lie group symmetric classical spacetimes in canonical tensor model

Taigen Kawano, Naoki Sasakura|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2021

Tensor decomposition and applications参考文献 51被引用 8

一句话总结

该论文表明，在规范张量模型（CTM）中，具有李群对称性参数的波函数会经历从量子相（涨落非定域）到经典相（涨落被抑制）的相变，其中在SO(n+1)对称性下涌现出离散的经典几何——具体为n-球面Sn（n=1,2,3）。该相变类似于矩阵模型中的Gross-Witten-Wadia型相变，由宇宙学常数的正性驱动，并通过哈密顿蒙特卡洛模拟得到验证，通过离散拉普拉斯算子分析验证了涌现构型的几何与拓扑性质。

ABSTRACT

We analyze a wave function of a tensor model in the canonical formalism, when the argument of the wave function takes Lie group invariant or nearby values. Numerical computations show that there are two phases, which we call the quantum and the classical phases, respectively. In the classical phase, fluctuations are suppressed, and there emerge configurations which are discretizations of the classical geometric spaces invariant under the Lie group symmetries. This is explicitly demonstrated for the emergence of $S^n\ (n=1,2,3)$ for $SO(n+1)$ symmetries by checking the topological and the geometric (Laplacian) properties of the emerging configurations. The transition between the two phases has the form of splitting/merging of distributions of variables, resembling a matrix model counterpart, namely, the transition between one-cut and two-cut solutions. However this resemblance is obscured by a difference of the mechanism of the distribution in our setup from that in the matrix model. We also discuss this transition as a replica symmetry breaking. We perform various preliminary studies of the properties of the phases and the transition for such values of the argument.

研究动机与目标

• 研究在规范张量模型（CTM）中，从量子涨落是否能涌现出经典时空几何。
• 检验李群对称构型（特别是SO(n+1)不变性）是否导致离散经典空间（如球面Sn）的形成。
• 识别并表征波函数Ψ(Q)在李群不变或邻近Q值下，量子相与经典相之间的相变。
• 探讨宇宙学常数的正性在通过抑制量子涨落实现经典几何涌现中的作用。

提出的方法

• 通过哈密顿蒙特卡洛（HMC）模拟分析规范张量模型（CTM）中的波函数Ψ(Q)。
• 将参数Q设置为在SO(n+1)李群对称性下不变的值，通过对称张量表示构造。
• 应用重加权方法计算大N下的Ψ(Q)，以评估特定Q构型下的波函数值。
• 通过张量秩分解定义离散拉普拉斯算子，以探测涌现构型的几何性质。
• 通过观察动力变量分布拓扑的变化（单簇（量子）与双簇（经典））分析相变。
• 通过计算离散拉普拉斯算子的特征值并与其在Sn上的已知谱比较，验证涌现构型的拓扑与几何性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当波函数参数Q为李群不变或邻近时，规范张量模型（CTM）是否表现出从量子行为到经典行为的相变？
• RQ2 在SO(n+1)对称性下，CTM波函数是否能涌现出离散的经典几何空间——特别是n=1,2,3时的n-球面Sn？
• RQ3 宇宙学常数的正性如何影响量子涨落的抑制以及CTM中经典几何的涌现？
• RQ4 CTM中的相变在多大程度上类似于矩阵模型中的一体化到双体化相变？其潜在机制的关键差异是什么？
• RQ5 经典相是否可被理解为一种复制对称性破缺形式？其对波函数结构有何影响？

主要发现

• 在CTM中观察到明显的相变：从变量分布单一峰值的量子相，转变为具有两个明显簇的古典相，表明涨落被抑制。
• 对于SO(n+1)-不变的Q（n=1,2,3），涌现构型表现出与n-球面Sn一致的拓扑与几何性质，其离散拉普拉斯谱与已知球面谐函数谱匹配得到验证。
• 经典相由宇宙学常数的正性稳定：其增强了对量子涨落的抑制，尤其在|Q|较大时更为显著。
• 该相变机制类似于矩阵模型中的Gross-Witten-Wadia相变，尽管由于波函数积分的振荡性，其分布动力学存在根本性差异。
• 当Q偏离李群不变性或表示形式改变时，经典相出现的可能性降低，表明对称性对经典几何的涌现至关重要。
• 经典相自然促进张量秩分解：φi场的外簇提供了Q的动态确定的、近似分解，且秩由模拟自动选择。