[论文解读] Emergent non-Hermitian contributions to the Ehrenfest and Hellmann-Feynman theorems

Georgios Konstantinou, Kyriakos Kyriakou+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文表明，当在多重连通空间或具有周期性边界条件的系统（如存在阿哈罗诺夫-玻姆效应或在参数空间中的系统）中应用埃伦费斯特定理和海曼-费曼定理时，非厄米边界贡献会自然出现——这些贡献源于广义电流和带有汇项的修正连续性方程，从而在无需预先假设非厄米哈密顿量的情况下，解决了量子力学中长期存在的悖论，包括对超virial定理的表观违反，使这些定理的适用性得以恢复。

ABSTRACT

We point out that two of the most important theorems of Quantum Mechanics, the Ehrenfest theorem and the Hellmann-Feynman theorem, lack in their standard form important information: there are cases where non-Hermitian boundary contributions emerge. These contributions actually appear naturally, in order for the above theorems to be valid and applicable (i.e. in multiply-connected spaces), and this occurs for physical quantities that are not represented by well-defined self-adjoint operators (such as the position operator in a periodic potential, or in general Aharonov-Bohm configurations, either in real or in an arbitrary parameter-space, in the sense of Berry's adiabatic and cyclic procedures). In this short note, we report modifications of these two theorems when such non-Hermiticities appear, and we demonstrate how they resolve certain Quantum Mechanical paradoxes (most of them having been noticed in the past as violations of the so-called Hypervirial theorem in Quantum Chemistry). This resolution of paradoxes (essentially the re-establishment of applicability of the Ehrenfest theorem even in multiply-connected spaces) always proceeds through the appearance of certain generalized currents, in a theoretical picture with interesting structure (where a generalized continuity equation with a sink term shows up naturally).

研究动机与目标

• 识别并解决标准埃伦费斯特定理与海曼-费曼定理在应用于多重连通量子系统时的不一致性。
• 表明在具有周期性势或阿哈罗诺夫-玻姆构型的系统中，非厄米贡献自然地从边界条件中产生。
• 在某些量子化学应用（如超virial定理）中，这些定理看似失效的背景下，恢复这些定理的有效性。
• 证明这些非厄米效应并非非厄米哈密顿量的产物，而是源自拓扑与边界结构。
• 通过带有汇项的连续性方程，提供一个广义的理论框架，以解释这些涌现贡献。

提出的方法

• 推导包含由拓扑约束引起的非厄米边界贡献的修正埃伦费斯特定理与海曼-费曼定理。
• 引入广义电流，以描述在多重连通空间或参数空间中穿过边界的通量。
• 提出一种带有汇项的广义连续性方程，以描述在存在这些边界贡献时的守恒律。
• 将修正定理应用于具有周期性边界条件及阿哈罗诺夫-玻姆型构型的系统，以验证一致性。
• 利用贝里几何相位的绝热与循环形式，分析参数空间依赖性及涌现的非厄米性。
• 通过这些涌现边界项的视角，分析已知的量子化学悖论（如超virial定理的违反）。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何标准埃伦费斯特定理与海曼-费曼定理在多重连通量子系统中看似失效？
• RQ2 这些定理中涌现的非厄米贡献是什么类型，其来源是什么？
• RQ3 如何在具有周期性边界条件或阿哈罗诺夫-玻姆效应的系统中恢复这些定理的有效性？
• RQ4 这些非厄米贡献是否与哈密顿量的结构相关，还是纯粹源于边界与拓扑效应？
• RQ5 带有汇项的广义连续性方程能否解释此类系统中量子力学悖论的解决？

主要发现

• 当应用于多重连通空间时，即使哈密顿量为厄米，非厄米边界贡献也会自然出现在埃伦费斯特定理与海曼-费曼定理中。
• 这些贡献源于广义电流，与拓扑或周期性边界条件相关，而非来自非厄米算符。
• 修正后的定理在超virial定理曾看似被违反的系统中恢复了自洽性。
• 带有汇项的广义连续性方程自然描述了在这些涌现非厄米效应存在下的守恒律。
• 悖论的解决无需引入非厄米哈密顿量，而是通过正确处理边界贡献实现。
• 研究结果表明，此类情境下的非厄米性是‘涌现的’且具有拓扑本质，而非基本或现象学的。