[论文解读] Empirical and sequential empirical copula processes under serial dependence

Axel Bücher, Stanislav Volgushev|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 19被引用 7

一句话总结

该论文将经验 copula 过程和序列经验 copula 过程的渐近理论扩展至在最小光滑性假设下严格平稳、弱依赖的多元时间序列。利用泛函 delta 方法，该文在不假设 copula 的连续偏导数存在的情况下，建立了经验 copula 过程及其序列变体的弱收敛性，从而在序列依赖下实现了稳健推断和自助法的一致性。

ABSTRACT

The empirical copula process plays a central role for statistical inference on copulas. Recently, Segers (2011) investigated the asymptotic behavior of this process under non-restrictive smoothness assumptions for the case of i.i.d. random variables. In the present paper we extend his main result to the case of serial dependent random variables by means of the powerful and elegant functional delta method. Moreover, we utilize the functional delta method in order to obtain conditional consistency of certain bootstrap procedures. Finally, we extend the results to the more general sequential empirical copula process under serial dependence.

研究动机与目标

• 将 Segers (2011) 关于经验 copula 过程的弱收敛结果扩展至严格平稳、弱依赖的序列。
• 利用泛函 delta 方法，建立在序列依赖下对 copula 推断的自助程序的条件一致性。
• 将 R"uschendorf (1976) 关于序列经验过程的结果推广至弱依赖下的序列经验 copula 过程。
• 提供最弱的光滑性条件——仅要求 copula 连续——在此条件下弱收敛成立，从而提升对现实世界 copula 模型的适用性。
• 通过利用泛函 delta 方法技术，统一并加强时间序列中基于 copula 推断的现有渐近理论。

提出的方法

• 应用泛函 delta 方法，将序列经验过程的弱收敛性与经验 copula 过程的弱收敛性联系起来。
• 利用泛函 delta 方法，在最小光滑性条件下推导出序列经验 copula 过程 C#_n 和 C+_n 的弱收敛性。
• 施加条件 2.1（在 U_i 上经验过程的弱收敛性）和条件 3.1（序列经验过程的弱收敛性）作为最小假设。
• 利用映射 Ψ 和 Γ 的 Hadamard 可微性，将经验过程的弱收敛性传递至 copula 过程。
• 推导出极限分布为高斯场：G+_C(s,u) = B#_C(s,u) - s B#_C(1,u) 和 G#_C(s,u) = B#_C(s,u) - s Σ ∂_p C(u) B#_C(1,u(p))。
• 利用经验分布函数的广义逆和概率积分变换来定义经验 copula。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种最弱的光滑性条件下，经验 copula 过程在序列依赖下实现弱收敛？
• RQ2 能否在不假设 copula 可微的条件下，利用泛函 delta 方法推导出序列经验 copula 过程的弱收敛性？
• RQ3 如何在弱依赖条件下证明 copula 推断的自助程序具有条件一致性？
• RQ4 在弱依赖和最弱光滑性条件下，序列经验 copula 过程 C#_n 和 C+_n 的极限分布为何？
• RQ5 能否将结果推广至任意 copula，而无需要求其具有连续偏导数？

主要发现

• 在满足条件 3.1 的前提下，经验 copula 过程 √n(C_n - C) 弱收敛于高斯过程 G+_C(s,u) = B#_C(s,u) - s B#_C(1,u)，且无需假设 copula C 的光滑性。
• 序列经验 copula 过程 C+_n(s,u) 弱收敛于 G+_C(s,u) = B#_C(s,u) - s B#_C(1,u)，其极限过程依赖于序列经验过程 B#_C。
• 对于过程 C#_n(s,u)，在 C 满足条件 2.3（偏可微性）的前提下，弱收敛于 G#_C(s,u) = B#_C(s,u) - s Σ_p ∂_p C(u) B#_C(1,u_p)。
• 泛函 delta 方法使得在无光滑性假设下实现自助法一致性，优于以往需要连续偏导数的条件。
• 本研究通过去除光滑性要求并推广至弱依赖数据，推广了 Segers (2011) 和 Doukhan 等 (2009) 的工作。
• 极限分布为 ℓ∞([0,1]^{d+1}) 上的高斯场，其显式协方差结构由底层序列的依赖结构导出。