[论文解读] Empirical distributions, geodesic lengths, and a variational formula in first-passage percolation

Erik Bates|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 9

一句话总结

该论文在 $Δ^d$ 上的 i.i.d. 首次通过渗滤中，建立了沿测地线的经验边权测度的弱收敛性，通过一种新颖的时变常数变分公式，证明了对广泛类别的边权分布（包括扰动、离散和光滑连续分布）均收敛到确定性极限。结果可推广至无限测地线，并解决了关于测地线行为和长度收敛性的长期开放问题。

ABSTRACT

This article resolves, in a dense set of cases, several open problems concerning geodesics in i.i.d. first-passage percolation on $\mathbb{Z}^d$. Our primary interest is in the empirical measures of edge-weights observed along geodesics from $0$ to $n\xi$, where $\xi$ is a fixed unit vector. For various dense families of edge-weight distributions, we prove that these measures converge weakly to a deterministic limit as $n o \infty$, answering a question of Hoffman. These families include arbitrarily small $L^\infty$-perturbations of any given distribution, almost every finitely supported distribution, uncountable collections of continuous distributions, and certain discrete distributions whose atoms have any prescribed sequence of probabilities. Moreover, the constructions are explicit enough to guarantee examples possessing certain features, for instance: both continuous and discrete distributions whose support is all of $[0,\infty)$, and distributions given by a density function that is $k$-times differentiable. All results also hold for $\xi$-directed infinite geodesics. In comparison, we show that if $\mathbb{Z}^d$ is replaced by the infinite $d$-ary tree, then any weight distribution admits a unique limiting empirical measure along geodesics. In both the lattice and tree cases, our methodology is driven by a new variational formula for the time constant, which requires no assumptions on the edge-weight distribution. Incidentally, this variational approach also allows us to obtain new convergence results for geodesic lengths, which have been unimproved in the subcritical case since the seminal 1965 manuscript of Hammersley and Welsh.

研究动机与目标

• 解决关于 $Δ^d$ 上测地线经验边权分布极限行为的开放问题。
• 在边权分布的广泛条件下，建立这些经验测度弱收敛到确定性极限的结果。
• 将收敛结果推广至 $Δ$-方向无限测地线及亚临界 regime 下的测地线长度。
• 推导出无需对边权分布做任何假设的时变常数变分公式。
• 证明在无限 $d$-叉树上，任一边权分布沿测地线均产生唯一的极限经验测度。

提出的方法

• 提出一种适用于任意边权分布（无需正则性假设）的首次通过渗滤中时变常数的新变分公式。
• 利用该变分公式分析测地线的渐近行为，并推导出经验边权测度的收敛性。
• 构造边权分布的显式例子（连续、离散，具有指定原子概率），证明收敛性成立。
• 应用变分方法证明亚临界情形下测地线长度的收敛性，改进了 Hammersley 和 Welsh（1965）的结果。
• 比较格点与树结构：证明在无限 $d$-叉树上，任一边权分布均沿测地线产生唯一的极限经验测度。
• 利用弱收敛技术和大偏差原理，为 $Δ^d$ 上密集分布族的极限测度建立结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于广泛类别的边权分布，从 $0$ 到 $n\xi$ 的测地线上的经验边权测度是否在 $n \to \infty$ 时弱收敛到确定性极限？
• RQ2 对于任意给定分布的任意小 $L^\infty$-扰动，该收敛性是否都能保证？
• RQ3 在无限 $d$-叉树上，任一边权分布的极限经验测度是否保持唯一且确定？
• RQ4 该时变常数的变分公式是否可用于推导亚临界 regime 下测地线长度的收敛结果？
• RQ5 边权分布的哪些结构性质（如连续性、可微性、紧支集等）可保证沿测地线的经验测度收敛？

主要发现

• 从 $0$ 到 $n\xi$ 的测地线上的经验边权测度，对包含任意分布的 $L^\infty$-扰动在内的密集边权分布族，弱收敛到确定性极限。
• 该收敛性对几乎所有有界支撑分布、不可数个连续分布族，以及任意指定原子概率序列的离散分布均成立。
• 对于支撑在 $[0,\infty)$ 上的分布（包括连续与离散情形），极限测度是确定性的，且可显式构造。
• 该时变常数的变分公式无需对边权分布做任何假设，且可用来推导收敛结果。
• 在无限 $d$-叉树上，任一边权分布均沿测地线产生唯一的极限经验测度，与格点情形不同，后者需要额外条件。
• 该方法导出了亚临界 regime 下测地线长度的新收敛结果，优于 1965 年 Hammersley–Welsh 的界。